Seja g uma funçāo derivável em x=1, e seja h(x)=raizg(x)+g(raizx). Se g(1)=81, e g^prime(1)=9, qual dos números listados abaixo corresponde a h^prime(1) ?
( 6,0
( 7,55,5
( 3,5
(5,0
( 6,5
( 3,0
-7,0
O Nenhuma Das Outras Respostas Está Correta4,54,0
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função g que é derivável em x = 1 . A função h(x) é dada por h(x) = raizg(x) + g(raizx) . Sabemos que g(1) = 81 e g'(1) = 9 . Nosso objetivo é encontrar a derivada h'(1) . Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas de funções compostas e funções básicas como a raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia. Também vamos precisar das derivadas de funções básicas, como raizx .

Passo 3

Vamos derivar cada parte de h(x) separadamente. Ou seja, vamos derivar raizg(x) e g(raizx) individualmente e depois somar os resultados.

Passo 4

Vamos começar com a derivada de raizg(x) . Podemos reescrever isso como [g(x)]^1/2 . Usando a regra do poder e a regra da cadeia, temos:
ddx ( [g(x)]^1/2 ) = 12 [g(x)]^-1/2 cdot g'(x)

Passo 5

Agora, vamos derivar g(raizx) . Aqui, temos uma função composta onde a função externa é g(u) e a interna é u = raizx . Usando a regra da cadeia novamente:
ddx g(raizx) = g'(raizx) cdot ddx (raizx) = g'(raizx) cdot 12 x^-1/2 = g'(raizx)2raizx

Passo 6

Agora, juntamos as duas derivadas para encontrar h'(x) :
h'(x) = 12 [g(x)]^-1/2 cdot g'(x) + g'(raizx)2raizx

Passo 7

Queremos encontrar h'(1) . Vamos substituir x = 1 na expressão acima. Sabemos que g(1) = 81 e g'(1) = 9 .
h'(1) = 12 [g(1)]^-1/2 cdot g'(1) + g'(raiz1)2raiz1

Passo 8

Simplificando as substituições:
h'(1) = 12 [81]^-1/2 cdot 9 + g'(1)2 cdot 1
Sabemos que raiz81 = 9 , então [81]^-1/2 = 19 .
h'(1) = 12 cdot 19 cdot 9 + 92

Passo 9

Resolvendo as multiplicações:
h'(1) = 12 cdot 1 + 92 = 12 + 92 = 102 = 5

Resposta

h'(1) = 5

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