Seja r um número racional representado pela fração 13/24. Pergunta-se:
i). Podemos representar r por fração da forma a/560? Explique.
ii). E por fração da forma a/168? Explique.

Passo 1

O enunciado dá a fração racional tfrac1324 e pergunta se podemos escrever essa mesma razão com denominador fixo em 560 e em 168. O conteúdo é frações equivalentes: para ter
1324 = ad',
precisamos escolher ainZ e verificar quando isso é possível.

Passo 2

Para que exista ainZ tal que tfrac1324=tfracad', é necessário e suficiente que d' seja múltiplo de 24 (assim podemos multiplicar numerador e denominador de tfrac1324 pelo mesmo inteiro). Fatorando:
;24=2^3cdot3.

Passo 3

Caso d'=560:
560=2^4cdot5cdot7
não contém o fator 3, logo 24notmid 560. Se tentássemos
a = 13cdot56024=13cdot703,
veríamos que a não é inteiro. Portanto não existe ainZ e não podemos representar por tfraca560.

Passo 4

Caso d'=168:
168=2^3cdot3cdot7,
contém exatamente 2^3 e 3, ou seja 24mid168 com 168/24=7. Então
a = 13cdot7 = 91
é inteiro e
1324 = 91168

Resposta

i) Não é possível representar por tfraca560.
ii) É possível: 1324=91168.

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