Exercício 7 Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies
,
.
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e o que está dado.
- O enunciado pede: calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies listadas.
- As superfícies fornecidas são:
-
(um cilindro circular de raio com eixo paralelo ao eixo ); -
(um plano inclinado que dá o teto do sólido); -
(plano que serve de base do sólido); -
(plano vertical que corta o cilindro, servindo como uma face lateral).
-
- Em palavras: o sólido está dentro do cilindro de raio
, é limitado lateralmente pelo plano (ou seja, é a metade do cilindro com ), tem como piso e como teto a superfície .
Passo 2
Escolha do método e mudanças de variável (explicação didática).
- Temos simetria circular porque aparece
. Para regiões circulares é quase sempre mais simples usar coordenadas polares. Outra opção seria usar coordenadas cartesianas, integrando entre e , mas isso fica mais trabalhoso porque o teto é (depende de ) e a presença de indica que estamos numa meia-disco. Então vou usar coordenadas polares. - Em coordenadas polares usamos as substituições
onde é a distância ao eixo e é o ângulo. O elemento de volume na projeção no plano incorpora o jacobiano , isto é, um elemento de área é . - Agora determinar os limites:
- Da equação do cilindro
pegamos , logo . - A condição
como face lateral corresponde a , isto é às direções . A região com corresponde a , ou seja . Assim varia de até . - Para
, o sólido está entre (piso) e (teto). Em coordenadas polares isso vira entre e . Observação: para temos , então , logo o teto está acima do piso em toda a região considerada.
- Da equação do cilindro
- Resumo dos limites:
Passo 3
Montar a integral tripla para o volume.
- O volume é a integral de
sobre a região . Em coordenadas polares (com o fator do jacobiano) isso fica - Explicando: o integrando
conta volume; o aparece porque ; os limites de são do piso ao teto.
Passo 4
Calcular a integral interna (integração em
).
- Integrando em
: - Portanto a integral reduz-se a
Passo 5
Calcular a integral em
.
- Integramos termo a termo:
- As primitivas são
e . Avaliando de a dá - Assim agora temos
Passo 6
Calcular a integral em
.
- Integramos os dois termos separadamente:
- Somando os dois resultados obtemos
Passo 7
Interpretação rápida e checagem de consistência.
- O resultado
é positivo e tem duas partes: uma parte polinomial (vem da integração do termo ligado a ) e uma parte proporcional à área da meia-disca, , que aparece porque o teto tem a componente constante . Faz sentido fisicamente: mesmo se o teto fosse (plano horizontal), o volume seria a área da meia-disca ; aqui temos um acréscimo devido ao fato do teto subir com , o que produz a adição de .