Exercício 7 Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies x^{2}+y^{2}=1, z=x+1, z=0, x=0.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e o que está dado.
  • O enunciado pede: calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies listadas.
  • As superfícies fornecidas são:
    • x^{2}+y^{2}=1 (um cilindro circular de raio 1 com eixo paralelo ao eixo z);
    • z=x+1 (um plano inclinado que dá o teto do sólido);
    • z=0 (plano que serve de base do sólido);
    • x=0 (plano vertical que corta o cilindro, servindo como uma face lateral).
  • Em palavras: o sólido está dentro do cilindro de raio 1, é limitado lateralmente pelo plano x=0 (ou seja, é a metade do cilindro com x\ge 0), tem como piso z=0 e como teto a superfície z=x+1.

Passo 2

Escolha do método e mudanças de variável (explicação didática).
  • Temos simetria circular porque aparece x^{2}+y^{2}=1. Para regiões circulares é quase sempre mais simples usar coordenadas polares. Outra opção seria usar coordenadas cartesianas, integrando y entre -\sqrt{1-x^{2}} e \sqrt{1-x^{2}}, mas isso fica mais trabalhoso porque o teto é z=x+1 (depende de x) e a presença de x=0 indica que estamos numa meia-disco. Então vou usar coordenadas polares.
  • Em coordenadas polares usamos as substituições x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo. O elemento de volume na projeção no plano xy incorpora o jacobiano r, isto é, um elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta.
  • Agora determinar os limites:
    • Da equação do cilindro x^{2}+y^{2}=1 pegamos r\le 1, logo 0\le r\le 1.
    • A condição x=0 como face lateral corresponde a r\cos\theta=0, isto é às direções \theta=\pm \tfrac{\pi}{2}. A região com x\ge 0 corresponde a \cos\theta\ge 0, ou seja -\tfrac{\pi}{2}\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}. Assim \theta varia de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{\pi}{2}.
    • Para z, o sólido está entre z=0 (piso) e z=x+1 (teto). Em coordenadas polares isso vira z entre 0 e r\cos\theta+1. Observação: para -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} temos \cos\theta\ge 0, então r\cos\theta+1\ge 1>0, logo o teto está acima do piso em toda a região considerada.
  • Resumo dos limites: \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad r\in[0,1],\qquad z\in[0,\,r\cos\theta+1].

Passo 3

Montar a integral tripla para o volume.
  • O volume é a integral de 1 sobre a região D. Em coordenadas polares (com o fator r do jacobiano) isso fica V=\int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{r\cos\theta+1} r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Explicando: o integrando 1 conta volume; o r aparece porque dA=r\,dr\,d\theta; os limites de z são do piso ao teto.

Passo 4

Calcular a integral interna (integração em z).
  • Integrando em z: \int_{z=0}^{r\cos\theta+1} r\,dz = r\left[z\right]_{0}^{r\cos\theta+1}=r\,(r\cos\theta+1).
  • Portanto a integral reduz-se a V=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\bigl(r^{2}\cos\theta + r\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em r.
  • Integramos termo a termo: \int_{0}^{1}\bigl(r^{2}\cos\theta + r\bigr)\,dr =\cos\theta\int_{0}^{1}r^{2}\,dr + \int_{0}^{1}r\,dr.
  • As primitivas são \int r^{2}dr = \tfrac{r^{3}}{3} e \int r\,dr = \tfrac{r^{2}}{2}. Avaliando de 0 a 1 \cos\theta\cdot \tfrac{1^{3}}{3} + \tfrac{1^{2}}{2} = \tfrac{1}{3}\cos\theta + \tfrac{1}{2}.
  • Assim agora temos V=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\left(\tfrac{1}{3}\cos\theta + \tfrac{1}{2}\right)\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em \theta.
  • Integramos os dois termos separadamente: \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\tfrac{1}{3}\cos\theta\,d\theta =\tfrac{1}{3}\bigl[\sin\theta\bigr]_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} =\tfrac{1}{3}\bigl(\sin\tfrac{\pi}{2}-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr) =\tfrac{1}{3}(1-(-1))=\tfrac{2}{3}.
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\tfrac{1}{2}\,d\theta =\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{\pi}{2}-\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\right) =\tfrac{1}{2}\cdot\pi=\tfrac{\pi}{2}.
  • Somando os dois resultados obtemos V=\tfrac{2}{3}+\tfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem de consistência.
  • O resultado \tfrac{2}{3}+\tfrac{\pi}{2} é positivo e tem duas partes: uma parte polinomial \tfrac{2}{3} (vem da integração do termo ligado a x=r\cos\theta) e uma parte proporcional à área da meia-disca, \tfrac{\pi}{2}, que aparece porque o teto tem a componente constante +1. Faz sentido fisicamente: mesmo se o teto fosse z=1 (plano horizontal), o volume seria a área da meia-disca \tfrac{1}{2}\pi\cdot 1^{2}=\tfrac{\pi}{2}; aqui temos um acréscimo devido ao fato do teto subir com x, o que produz a adição de \tfrac{2}{3}.

Resposta

\dfrac{2}{3}+\dfrac{\pi}{2}

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