Encontre as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais retiradas do enunciado:
- A função a ser integrada é
. - O integrando envolve
, que está definido como número real quando , ou seja para . - A resposta deve ser uma primitiva (antiderivada) da função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Escolher uma mudança de variável que simplifique a raiz. Aqui é natural definir a nova variável
Explicação do porquê: a raiz aparece exatamente como
; ao colocar
transformamos a expressão da raiz em
, que é mais simples de integrar.
Passo 3
Calcular a diferencial associada à mudança
. Derivando ambos os lados obtemos
Agora substituir
e
na integral original. A integral vira
Aqui usei que
, então
.
Passo 4
Integrar usando a regra de potência para integrais. Regra de potência: para qualquer
,
Nesta integral temos
. Aplicando a regra:
Calcule
, então
Passo 5
Voltar à variável original
substituindo
. Assim a primitiva fica
Sempre acrescentar a constante de integração
.
Passo 6
Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derivar
.
Usar a regra da cadeia: se , então
Usar a regra da cadeia: se
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta. Lembrar que a expressão é válida para
, onde a raiz é real.