Encontre as integrais abaixo:
\int \frac{1}{\sqrt{4-x}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{4-x}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais retiradas do enunciado:
  • A função a ser integrada é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x}}.
  • O integrando envolve \sqrt{4-x}, que está definido como número real quando 4-x>0, ou seja para x<4.
  • A resposta deve ser uma primitiva (antiderivada) da função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolher uma mudança de variável que simplifique a raiz. Aqui é natural definir a nova variável
u = 4 - x.
Explicação do porquê: a raiz aparece exatamente como \sqrt{4-x}; ao colocar u=4-x transformamos a expressão da raiz em \sqrt{u}, que é mais simples de integrar.

Passo 3

Calcular a diferencial associada à mudança u=4-x. Derivando ambos os lados obtemos
du = -\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = -\,du.
Agora substituir u e dx na integral original. A integral vira
\int \frac{1}{\sqrt{4-x}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot(-\,du) = -\int u^{-1/2}\,du.
Aqui usei que \sqrt{u}=u^{1/2}, então 1/\sqrt{u}=u^{-1/2}.

Passo 4

Integrar usando a regra de potência para integrais. Regra de potência: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Nesta integral temos n=-\tfrac{1}{2}. Aplicando a regra:
-\int u^{-1/2}\,du = -\left(\frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1}\right) + C = -\left(\frac{u^{1/2}}{1/2}\right) + C.
Calcule \dfrac{1}{1/2}=2, então
-\left(\frac{u^{1/2}}{1/2}\right) = -2\,u^{1/2}.

Passo 5

Voltar à variável original x substituindo u=4-x. Assim a primitiva fica
-2\,u^{1/2}+C = -2\sqrt{u}+C = -2\sqrt{4-x}+C.
Sempre acrescentar a constante de integração C.

Passo 6

Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derivar -2\sqrt{4-x}+C.
Usar a regra da cadeia: se g(x)=-2(4-x)^{1/2}, então
g'(x)=-2\cdot\frac{1}{2}(4-x)^{-1/2}\cdot(-1)=\frac{1}{\sqrt{4-x}},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta. Lembrar que a expressão é válida para x<4, onde a raiz é real.

Resposta

-2\sqrt{4-x}+C

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