Encontre as integrais abaixo:
\int(2 t-7)^{73} d t

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a integral indefinida \displaystyle \int (2 t - 7)^{73}\,dt.
  • Pedido: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) de (2 t - 7)^{73}, ou seja, calcular \displaystyle \int (2 t - 7)^{73}\,dt.

Passo 2

Ideia para resolver (explicação didática da técnica): usar substituição.
Por que isso funciona: quando a integranda é uma potência de uma expressão linear (a t + b)^n, a derivada da expressão interna (a t + b) é a constante a. A substituição transforma a integral numa potência simples u^n, que integra facilmente com a regra da potência inversa.
Escolha a substituição:
u = 2t - 7.
Calcule a diferencial du:
du = 2\,dt \quad\Rightarrow\quad dt = \frac{du}{2}.

Passo 3

Transformar a integral em termos de u. Substituindo u e dt na integral:
\int (2t-7)^{73}\,dt = \int u^{73}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{73}\,du.
Aqui foi usada a regra de substituição: trocar a variável t por u e ajustar dt por du/2.

Passo 4

Integrar usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando com n=73:
\frac{1}{2}\int u^{73}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{74}}{74} + C = \frac{u^{74}}{148} + C.
Agora voltar à variável original t (substituir u=2t-7):
\int (2t-7)^{73}\,dt = \frac{(2t-7)^{74}}{148} + C.

Passo 5

Verificação (importante para a prova): derivar o resultado dá a integranda original.
Calcule a derivada de \dfrac{(2t-7)^{74}}{148}:
\frac{d}{dt}\left(\frac{(2t-7)^{74}}{148}\right) = \frac{1}{148}\cdot 74(2t-7)^{73}\cdot\frac{d}{dt}(2t-7) = \frac{74\cdot 2}{148}(2t-7)^{73} = (2t-7)^{73}.
A verificação confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{(2t-7)^{74}}{148}+C

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