Encontre as integrais abaixo:
\int y^{2}(1+y)^{2} d y

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função \displaystyle y^{2}(1+y)^{2}, ou seja encontrar
\int y^{2}(1+y)^{2}\,dy.
Informações dadas: a integranda é o produto de y^{2} por (1+y)^{2}. Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia básica (método escolhido): aqui o modo mais simples é expandir o polinômio e integrar termo a termo. Isso usa duas propriedades fundamentais: a propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma (para expandir) e a linearidade da integral (para separar em somas de integrais menores).

Passo 3

Expandir (1+y)^{2} usando a identidade do quadrado da soma:
(1+y)^{2}=1+2y+y^{2}.
Essa identidade vem de (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} com a=1 e b=y.

Passo 4

Multiplicar por y^{2} para obter o integrando em forma de soma de potências de y:
y^{2}(1+y)^{2}=y^{2}\cdot(1+2y+y^{2})=y^{2}+2y^{3}+y^{4}.
Aqui só aplicamos a distributiva: y^{2}\cdot 1 = y^{2}, y^{2}\cdot 2y = 2y^{3}, y^{2}\cdot y^{2}=y^{4}.

Passo 5

Usar a linearidade da integral para separar:
\int y^{2}(1+y)^{2}\,dy = \int y^{2}\,dy + 2\int y^{3}\,dy + \int y^{4}\,dy.
Explicar a regra que vamos usar: a regra da potência (power rule) diz que, para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui y é a variável de integração, n é um número real (o expoente), e C é a constante de integração. A razão é que, ao derivar \dfrac{y^{n+1}}{n+1} obtém-se y^{n}.

Passo 6

Aplicar a regra da potência a cada termo, mostrando os cálculos:
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3},
2\int y^{3}\,dy = 2\cdot\frac{y^{4}}{4} = \frac{y^{4}}{2},
\int y^{4}\,dy = \frac{y^{5}}{5}.

Passo 7

Somar os resultados (sem concluir aqui com a resposta final, só juntando os termos integrados):
\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{4}}{2}+\frac{y^{5}}{5}+C.

Passo 8

Verificação rápida (checagem): derivando termo a termo para confirmar que voltamos à integranda:
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{4}}{2}+\frac{y^{5}}{5}\right) = y^{2}+2y^{3}+y^{4},
que é exatamente y^{2}(1+y)^{2}. Isso confirma que a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{4}}{2}+\frac{y^{5}}{5}+C

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