Encontre as integrais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função
, ou seja encontrar
Informações dadas: a integranda é o produto de
por
. Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia básica (método escolhido): aqui o modo mais simples é expandir o polinômio e integrar termo a termo. Isso usa duas propriedades fundamentais: a propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma (para expandir) e a linearidade da integral (para separar em somas de integrais menores).
Passo 3
Expandir
usando a identidade do quadrado da soma:
Essa identidade vem de
com
e
.
Passo 4
Multiplicar por
para obter o integrando em forma de soma de potências de
:
Aqui só aplicamos a distributiva:
,
,
.
Passo 5
Usar a linearidade da integral para separar:
Explicar a regra que vamos usar: a regra da potência (power rule) diz que, para
,
Aqui
é a variável de integração,
é um número real (o expoente), e
é a constante de integração. A razão é que, ao derivar
obtém-se
.
Passo 6
Aplicar a regra da potência a cada termo, mostrando os cálculos:
Passo 7
Somar os resultados (sem concluir aqui com a resposta final, só juntando os termos integrados):
Passo 8
Verificação rápida (checagem): derivando termo a termo para confirmar que voltamos à integranda:
que é exatamente
. Isso confirma que a primitiva encontrada está correta.