Encontre as integrais indefinidas:
\int x \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int x\,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx,
usando o método de integração por partes e a fórmula básica \displaystyle \int \sin(ax)\,dx = -\tfrac{1}{a}\cos(ax).

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
Então
du = dx
e para encontrar v calculamos
v = \int \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
Fazendo a substituição t = \tfrac{x}{2}, dt = \tfrac{dx}{2}, obtemos
v = 2\int \sin t\,dt = -2\cos t = -2\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
vem
\int x\,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = x\cdot\bigl(-2\cos\!\tfrac{x}{2}\bigr) - \int \bigl(-2\cos\!\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = -2x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + 2\int \cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Para completar, usamos
\int \cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\tfrac12} = 2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Logo
2\int \cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = 2\cdot 2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) = 4\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 5

Substituindo no resultado do Passo 3, a antiderivada fica
-2x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + 4\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

-2x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + 4\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

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