Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
\int \frac{1}{x(\ln (x))^{p}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1}{x(\ln(x))^p}\,dx.
O conteúdo necessário é integração por substituição, transformando a integral numa potência de \ln(x).

Passo 2

Fazendo a substituição
t = \ln(x),
temos
dt = \frac{1}{x}\,dx
ou seja \frac{dx}{x}=dt.

Passo 3

Substituindo em \int \frac{1}{x(\ln(x))^p}\,dx, fica
\int t^{-p}\,dt.

Passo 4

Para p\neq 1, aplicamos a fórmula
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C,
onde n=-p. Então
\int t^{-p}\,dt = \frac{t^{-p+1}}{-p+1} + C = \frac{t^{1-p}}{1-p} + C.

Passo 5

Para p=1, reconhecemos
\int t^{-1}\,dt = \ln\bigl|t\bigr| + C,
logo o resultado é \ln\bigl|\ln(x)\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{1}{x(\ln(x))^p}\,dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{(\ln(x))^{1-p}}{1-p} + C, & p\neq 1,\\[1em] \displaystyle \ln\bigl|\ln(x)\bigr| + C, & p=1. \end{cases}]

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