Encontre as integrais indefinidas das seguintes funções:

Passo 1

O exercício pede a integral indefinida de f(x)=2x(1−x²). O conteúdo aqui é integração de polinômios; vamos usar a propriedade de linearidade da integral e a regra do poder, que diz que integral x^n,dx=tfracx^n+1n+1 para nneq-1.

Passo 2

Primeiro, expandimos o integrando para facilitar a integração.
f(x)=2x(1−x^2)=2x−2x^3
Logo,
integral f(x),dx=integral(2x−2x^3),dx

Passo 3

Em seguida, aplicamos a linearidade da integral e a regra do poder em cada termo:
integral(2x−2x^3),dx=2integral x,dx−2integral x^3,dx =2cdotx^22−2cdotx^44

Passo 4

Por fim, simplificamos os coeficientes e adicionamos a constante de integração C.
2cdotx^22=x^2, 2cdotx^44=x^42
Assim, a integral indefinida fica x²−\tfrac{x⁴}{2}+C.

Resposta

x^2-tfracx^42+C

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