Mostre que a superfície de uma esfera de raio a é 4 pi a^2 m^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a área superficial de uma esfera de raio a é 4pi a^2 m². Esse problema é do conteúdo de integrais de superfície e vamos precisar usar a parametrização da esfera em coordenadas esféricas e a fórmula de área de superfície de superfícies parametrizadas.

Passo 2

Para calcular a área de superfície, usamos a fórmula
A=integral duplaD llVert ru times rv rrVert,du,dv,
sendo r(u,v) a parametrização da superfície e u,v as variáveis de parametrização.

Passo 3

Vamos parametrizar a esfera de raio a usando os ângulos phi (colatitude, de 0 a pi) e theta (longitude, de 0 a 2pi):
r(phi,theta)=l(asinphicostheta,;asinphisintheta,;acosphir)
Em seguida, calculamos os vetores parciais:
rphi=(acosphicostheta,;acosphisintheta,;-asinphi),
rtheta=(-asinphisintheta,;asinphicostheta,;0)

Passo 4

Agora o produto vetorial rphitimesrtheta tem norma
llVert rphitimesrtheta rrVert = a^2sinphi
Logo, o elemento de área é dS = a^2sinphi,dphi,dtheta.

Passo 5

Bast a integrar sobre o domínio:
A=integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi a^2sinphi,dphi,dtheta = a^2 l(integral0^2pidthetar)l(integral0^pisinphi,dphir)
Calculando cada integral temos:
integral0^2pidtheta = 2pi,
integral0^pisinphi,dphi = [-cosphi]0^pi = 2

Passo 6

Substituindo de volta, obtemos:
A = a^2 times 2pi times 2 = 4pi a^2
Pronto, mostramos que a área superficial da esfera é 4pi a^2 m².

Resposta

4\pi a^2

Exercícios relacionados