Escreva a equação paramétrica para o cone dado por z=raizx^2+y^2.
(x i+y j+raizx^2+y^2 k)

Passo 1

O enunciado pede a equação paramétrica do cone definido por z=√(x²+y²). O conteúdo aqui é parametrização de superfícies e vamos usar coordenadas polares para expressar x, y e z em função de dois parâmetros.

Passo 2

Percebemos que a superfície é um cone reto com vértice na origem e eixo z como eixo de simetria. Uma forma natural de parametrizá-lo é usar coordenadas polares no plano xy, onde introduzimos dois parâmetros r (distância ao eixo) e θ (ângulo).
Em coordenadas polares temos x=r cosθ e y=r sinθ. Substituindo na equação do cone z=√(x²+y²) obtemos z=√(r² cos²θ+r² sin²θ)=r.

Passo 3

Assim, a parametrização fica em termos dos parâmetros r e θ:
r(r,theta)=rcostheta,i+rsintheta,j+r,k
O domínio desses parâmetros é r≥0 e θ∈[0,2π), garantindo que percorremos todo o cone sem repetição.

Resposta

A equação paramétrica pode ser escrita como
r(r,theta)=rcostheta,i+rsintheta,j+r,k,
com r\ge0 e θ\in[0,2\pi).

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