Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
usando o método dos discos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar a integral que calcula o volume de um sólido. A gente vai trabalhar com a rotação de uma região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar onde as duas curvas se interceptam, ou seja, encontrar os pontos onde
. Isso nos dará os limites de integração.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações:
Dividindo tudo por 4:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos
e
.
Passo 4
Agora que temos os limites de integração
e
, vamos aplicar o método dos discos. Como estamos rotacionando em torno do eixo
, precisamos ajustar as funções para a distância em relação a esse eixo.
Passo 5
Calculamos o raio de cada disco como a distância entre cada curva e o eixo de rotação
. Para a curva superior
e a inferior
, os raios serão:
Passo 6
A área do disco é dada por
. Então, a integral que representa o volume será:
Passo 7
Substituindo as expressões das curvas:
Resposta
A integral que calcula o volume do sólido é: