Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x^2+2 x+1 e y=-3 x^2-6 x+13 em torno do eixo y=-4 usando o método dos discos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar a integral que calcula o volume de um sólido. A gente vai trabalhar com a rotação de uma região delimitada pelas curvas y = x^2 + 2x + 1 e y = -3x^2 - 6x + 13 em torno do eixo y = -4 . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde as duas curvas se interceptam, ou seja, encontrar os pontos onde x^2 + 2x + 1 = -3x^2 - 6x + 13 . Isso nos dará os limites de integração.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações:
x^2 + 2x + 1 = -3x^2 - 6x + 13
x^2 + 2x + 1 + 3x^2 + 6x - 13 = 0
4x^2 + 8x - 12 = 0
Dividindo tudo por 4:
x^2 + 2x - 3 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos x = 1 e x = -3 .

Passo 4

Agora que temos os limites de integração x = -3 e x = 1 , vamos aplicar o método dos discos. Como estamos rotacionando em torno do eixo y = -4 , precisamos ajustar as funções para a distância em relação a esse eixo.

Passo 5

Calculamos o raio de cada disco como a distância entre cada curva e o eixo de rotação y = -4 . Para a curva superior ysuperior = -3x^2 -6x +13 e a inferior yinferior = x^2 + 2x +1 , os raios serão:
R = ysuperior - (-4) = ysuperior + 4
r = yinferior - (-4) = yinferior + 4

Passo 6

A área do disco é dada por pi(R^2 - r^2) . Então, a integral que representa o volume será:
V = pi integral-3^1 [ (ysuperior + 4)^2 - (yinferior + 4)^2 ] dx

Passo 7

Substituindo as expressões das curvas:
V = pi integral-3^1 [ (-3x^2 -6x +13 + 4)^2 - (x^2 + 2x +1 + 4)^2 ] dx
V = pi integral-3^1 [ (-3x^2 -6x +17)^2 - (x^2 + 2x +5)^2 ] dx

Resposta

A integral que calcula o volume do sólido é:
V = pi integral-3^1 [ (-3x^2 -6x +17)^2 - (x^2 + 2x +5)^2 ] dx

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