Encontre a integral indefinida das funções a seguir
$f(x)=\sqrt[3]{x{2}}-\sqrt{x{3}}$
$f(x)=\sqrt[3]{x{2}}-\sqrt{x{3}}$
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a integral indefinida de
f(x)=√[3]{x²}−√{x³}. O conteúdo é integrais de potências e vamos usar a regra de potência para integração, que diz que para n≠−1 vale
f(x)=√[3]{x²}−√{x³}. O conteúdo é integrais de potências e vamos usar a regra de potência para integração, que diz que para n≠−1 vale
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
Passo 2
Primeiro reescrevemos os radicais como potências de x:
√[3]{x²} = x^{2/3}
√{x³} = x^{3/2}
Logo
∫(√[3]{x²} − √{x³})dx = ∫(x^{2/3} − x^{3/2})dx
Passo 3
Aplicamos a regra de potência a cada termo:
Para ∫x^{2/3}dx, n=2/3, então
∫x^{2/3}dx = x^{2/3+1}/(2/3+1) = x^{5/3}/(5/3) = (3/5)x^{5/3}
Para ∫x^{3/2}dx, n=3/2, então
∫x^{3/2}dx = x^{3/2+1}/(3/2+1) = x^{5/2}/(5/2) = (2/5)x^{5/2}
Passo 4
Reunindo os resultados e lembrando de adicionar a constante de integração C, temos a antiderivada completa.