Encontre a Integral Indefinida
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A integranda é um produto de potências de funções trigonométricas com o mesmo argumento
. - O expoente de
é (ímpar) e o expoente de é (par). - Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função em termos de
, mais a constante de integração .
Passo 2
Estratégia e preparação (explicação didática do porquê dessa escolha):
Quando temos um produto de potências de seno e cosseno com o mesmo argumento, e o expoente de uma das funções trigonométricas é ímpar, é conveniente separar um fator dessa função ímpar e usar uma substituição que transforme o restante em potências da outra função. Aqui o expoente ímpar é o de , então vamos fatorar um
e reescrever o restante usando a identidade pitagórica.
A identidade pitagórica básica é
Quando temos um produto de potências de seno e cosseno com o mesmo argumento, e o expoente de uma das funções trigonométricas é ímpar, é conveniente separar um fator dessa função ímpar e usar uma substituição que transforme o restante em potências da outra função. Aqui o expoente ímpar é o de
A identidade pitagórica básica é
onde
é qualquer expressão (aqui
). Essa identidade permite trocar potências de
por potências de
.
Façamos então a fatoração:
Façamos então a fatoração:
Assim a integranda vira
Passo 3
Substituição (aula sobre substituição e a regra da cadeia):
Escolhemos a substituição
Escolhemos a substituição
Explico por quê: assim todas as potências de
passam a ser potências de
, e o fator
aparece via o diferencial de
.
Calcule o diferencial:
Calcule o diferencial:
Daí obtemos
Substituindo na integral reescrita do Passo 2:
Passo 4
Integral em
e integração termo a termo (aula sobre potências e antiderivadas):
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Logo a integral fica
Integramos termo a termo usando a regra de potências: para
,
Aplicando:
Portanto
Passo 5
Volta à variável
e simplificação final:
Substituindo de volta e multiplicando o
:
Substituindo
Não esquecer da constante de integração
. Assim a primitiva completa é
Passo 6
Verificação rápida (usar derivada para checar — aula sobre a regra da cadeia na verificação):
Vamos diferenciar a resposta para confirmar que recuperamos a integranda original.
Calcule
Vamos diferenciar a resposta para confirmar que recuperamos a integranda original.
Calcule
E
Subtraindo,
usando
. Isso é exatamente
que é a integranda original. Verificação concluída.