Encontre a Integral Indefinida
\int \cos ^{3} 2 t \operatorname{sen}^{6} 2 t d t=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^{3}(2t)\,\sin^{6}(2t)\,dt.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  1. A integranda é um produto de potências de funções trigonométricas com o mesmo argumento 2t.
  2. O expoente de \cos é 3 (ímpar) e o expoente de \sin é 6 (par).
  3. Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função em termos de t, mais a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia e preparação (explicação didática do porquê dessa escolha):
Quando temos um produto de potências de seno e cosseno com o mesmo argumento, e o expoente de uma das funções trigonométricas é ímpar, é conveniente separar um fator dessa função ímpar e usar uma substituição que transforme o restante em potências da outra função. Aqui o expoente ímpar é o de \cos, então vamos fatorar um \cos(2t) e reescrever o restante usando a identidade pitagórica.
A identidade pitagórica básica é
\cos^{2}(\theta)=1-\sin^{2}(\theta),
onde \theta é qualquer expressão (aqui \theta=2t). Essa identidade permite trocar potências de \cos por potências de \sin.
Façamos então a fatoração:
\cos^{3}(2t)=\cos^{2}(2t)\cdot\cos(2t)=(1-\sin^{2}(2t))\cos(2t).
Assim a integranda vira
(1-\sin^{2}(2t))\sin^{6}(2t)\cos(2t).

Passo 3

Substituição (aula sobre substituição e a regra da cadeia):
Escolhemos a substituição
u=\sin(2t).
Explico por quê: assim todas as potências de \sin(2t) passam a ser potências de u, e o fator \cos(2t)\,dt aparece via o diferencial de u.
Calcule o diferencial:
du=\frac{d}{dt}\big(\sin(2t)\big)\,dt=\big(\cos(2t)\cdot 2\big)\,dt=2\cos(2t)\,dt.
Daí obtemos
\cos(2t)\,dt=\frac{du}{2}.
Substituindo na integral reescrita do Passo 2:
\int (1-\sin^{2}(2t))\sin^{6}(2t)\cos(2t)\,dt = \int (1-u^{2})u^{6}\cdot\frac{du}{2}.

Passo 4

Integral em u e integração termo a termo (aula sobre potências e antiderivadas):
Simplificamos a expressão dentro da integral:
(1-u^{2})u^{6}=u^{6}-u^{8}.
Logo a integral fica
\frac{1}{2}\int (u^{6}-u^{8})\,du.
Integramos termo a termo usando a regra de potências: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aplicando:
\int u^{6}\,du=\frac{u^{7}}{7},\qquad \int u^{8}\,du=\frac{u^{9}}{9}.
Portanto
\frac{1}{2}\int (u^{6}-u^{8})\,du =\frac{1}{2}\left(\frac{u^{7}}{7}-\frac{u^{9}}{9}\right).

Passo 5

Volta à variável t e simplificação final:
Substituindo u=\sin(2t) de volta e multiplicando o \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\left(\frac{u^{7}}{7}-\frac{u^{9}}{9}\right) =\frac{u^{7}}{14}-\frac{u^{9}}{18} =\frac{\sin^{7}(2t)}{14}-\frac{\sin^{9}(2t)}{18}.
Não esquecer da constante de integração C. Assim a primitiva completa é
\frac{\sin^{7}(2t)}{14}-\frac{\sin^{9}(2t)}{18}+C.

Passo 6

Verificação rápida (usar derivada para checar — aula sobre a regra da cadeia na verificação):
Vamos diferenciar a resposta para confirmar que recuperamos a integranda original.
Calcule
\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin^{7}(2t)}{14}\right) =\frac{1}{14}\cdot 7\sin^{6}(2t)\cdot\big(\cos(2t)\cdot 2\big) =\sin^{6}(2t)\cos(2t).
E
\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin^{9}(2t)}{18}\right) =\frac{1}{18}\cdot 9\sin^{8}(2t)\cdot\big(\cos(2t)\cdot 2\big) =\sin^{8}(2t)\cos(2t).
Subtraindo,
\sin^{6}(2t)\cos(2t)-\sin^{8}(2t)\cos(2t) =\sin^{6}(2t)\cos(2t)\big(1-\sin^{2}(2t)\big) =\sin^{6}(2t)\cos(2t)\cos^{2}(2t),
usando \cos^{2}(2t)=1-\sin^{2}(2t). Isso é exatamente
\cos^{3}(2t)\sin^{6}(2t),
que é a integranda original. Verificação concluída.

Resposta

\frac{\sin^{7}(2t)}{14}-\frac{\sin^{9}(2t)}{18}+C

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