Encontre a Integral Indefinida
\int \operatorname{sen}^{7} 6 y \cos ^{2} 6 y d y=

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \sin^{7}(6y)\cos^{2}(6y)\,dy.
Dados relevantes que o enunciado fornece:
\sin^{7}(6y) significa \big(\sin(6y)\big)^{7} e \cos^{2}(6y) significa \big(\cos(6y)\big)^{2}.
A incógnita da primitivação é y. Não há constantes adicionais no enunciado.

Passo 2

Observação estratégica (por que escolhemos este caminho): quando temos um produto de potências de seno e cosseno, um truque padrão é usar substituição trigonométrica que aproveite paridade das potências. Aqui a potência de \sin é ímpar ( 7), então é conveniente “reservar” um fator \sin(6y) para formar o diferencial de uma substituição com u=\cos(6y), porque
d(\cos(6y)) = -6\sin(6y)\,dy.
Vou explicar passo a passo como isso funciona e por que é uma escolha eficiente.

Passo 3

Separe a integral para facilitar a substituição: escreva \sin^{7}(6y)=\sin^{6}(6y)\cdot\sin(6y). Assim
\int \sin^{7}(6y)\cos^{2}(6y)\,dy = \int \sin^{6}(6y)\,\sin(6y)\,\cos^{2}(6y)\,dy.
A ideia é usar \sin(6y)\,dy junto com d(\cos(6y)). Antes de substituir, transformamos \sin^{6}(6y) em função de \cos(6y) usando a identidade pitagórica:
\sin^{2}(\theta)=1-\cos^{2}(\theta).
Então
\sin^{6}(6y)=\big(\sin^{2}(6y)\big)^{3}=\big(1-\cos^{2}(6y)\big)^{3}.

Passo 4

Faça a substituição. Defina
u=\cos(6y).
Calcule o diferencial:
du = -6\sin(6y)\,dy \quad\Longrightarrow\quad \sin(6y)\,dy = -\frac{1}{6}\,du.
Também \sin^{6}(6y)=(1-u^{2})^{3} e \cos^{2}(6y)=u^{2}. Substituindo tudo na integral original obtemos
\int \sin^{7}(6y)\cos^{2}(6y)\,dy = \int (1-u^{2})^{3}\,u^{2}\left(-\frac{1}{6}\,du\right).
Retirando a constante:
\int \sin^{7}(6y)\cos^{2}(6y)\,dy = -\frac{1}{6}\int u^{2}(1-u^{2})^{3}\,du.

Passo 5

Expanda o polinômio (1-u^{2})^{3}. Usando o binômio:
(1-u^{2})^{3} =1 - 3u^{2} + 3u^{4} - u^{6}.
Multiplicando por u^{2}:
u^{2}(1-u^{2})^{3} = u^{2} - 3u^{4} + 3u^{6} - u^{8}.
Portanto a integral em u é
-\frac{1}{6}\int \big(u^{2} - 3u^{4} + 3u^{6} - u^{8}\big)\,du.

Passo 6

Integre termo a termo. Lembre que \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1). Aplicando:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3},\quad \int (-3u^{4})\,du = -3\cdot\frac{u^{5}}{5} = -\frac{3u^{5}}{5},
\int 3u^{6}\,du = 3\cdot\frac{u^{7}}{7} = \frac{3u^{7}}{7},\quad \int (-u^{8})\,du = -\frac{u^{9}}{9}.
Somando os termos obtém-se a primitiva interna
\frac{u^{3}}{3} - \frac{3u^{5}}{5} + \frac{3u^{7}}{7} - \frac{u^{9}}{9}.

Passo 7

Multiplique pelo fator externo -\dfrac{1}{6}. Assim a primitiva em u é
-\frac{1}{6}\left(\frac{u^{3}}{3} - \frac{3u^{5}}{5} + \frac{3u^{7}}{7} - \frac{u^{9}}{9}\right).
Efetuando a multiplicação e simplificando frações:
-\frac{u^{3}}{18} + \frac{u^{5}}{10} - \frac{u^{7}}{14} + \frac{u^{9}}{54} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Volte à variável original usando u=\cos(6y). Substituindo:
-\frac{\cos^{3}(6y)}{18} + \frac{\cos^{5}(6y)}{10} - \frac{\cos^{7}(6y)}{14} + \frac{\cos^{9}(6y)}{54} + C.
Esse é o antiderivado buscado.

Resposta

-\dfrac{\cos^{3}(6y)}{18}+\dfrac{\cos^{5}(6y)}{10}-\dfrac{\cos^{7}(6y)}{14}+\dfrac{\cos^{9}(6y)}{54}+C

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