Encontre a Integral Indefinida
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Dados relevantes que o enunciado fornece:
significa
e
significa
.
A incógnita da primitivação é . Não há constantes adicionais no enunciado.
A incógnita da primitivação é
Passo 2
Observação estratégica (por que escolhemos este caminho): quando temos um produto de potências de seno e cosseno, um truque padrão é usar substituição trigonométrica que aproveite paridade das potências. Aqui a potência de
é ímpar (
), então é conveniente “reservar” um fator
para formar o diferencial de uma substituição com
, porque
Vou explicar passo a passo como isso funciona e por que é uma escolha eficiente.
Passo 3
Separe a integral para facilitar a substituição: escreva
. Assim
A ideia é usar
junto com
. Antes de substituir, transformamos
em função de
usando a identidade pitagórica:
Então
Passo 4
Faça a substituição. Defina
Calcule o diferencial:
Também
e
. Substituindo tudo na integral original obtemos
Retirando a constante:
Passo 5
Expanda o polinômio
. Usando o binômio:
Multiplicando por
:
Portanto a integral em
é
Passo 6
Integre termo a termo. Lembre que
(para
). Aplicando:
Somando os termos obtém-se a primitiva interna
Passo 7
Multiplique pelo fator externo
. Assim a primitiva em
é
Efetuando a multiplicação e simplificando frações:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Volte à variável original usando
. Substituindo:
Esse é o antiderivado buscado.