Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
f(x)=cos (4 x)

Passo 1

A questão pede para esboçar o gráfico de f(x)=\cos(4x), determinar domínio, imagem, verificar se é limitada e se há máximos ou mínimos globais. O conteúdo envolvido é funções trigonométricas periódicas, em particular a função cosseno e suas propriedades de domínio, imagem e extremantes.

Passo 2

Para começar, vamos achar o domínio de f. A função cosseno está definida para todo x real, logo o domínio de f é R, ou seja, todos os números reais.

Passo 3

Em seguida, a imagem (conjunto-valor) de cos(t) é o intervalo [-1,1]. Como f(x)=\cos(4x) apenas escala o argumento, mas não afeta os valores de saída, a imagem de f também é [-1,1].

Passo 4

Para esboçar o gráfico, precisamos da periodicidade e amplitude. A função cos(u) tem período 2pi. Aqui o argumento é u=4x, então o período em x satisfaz 4(x+T)=4x+2pi, resultando em T=2pi4=pi2 A amplitude é 1 (varia entre -1 e 1).

Passo 5

Alguns pontos-chave para o esboço: inicia em x=0 com f(0)=\cos(0)=1; atinge zero quando 4x=tfracpi2+kpi, ou seja x=tfracpi8+ktfracpi4; mínimo -1 ocorre quando 4x=pi+2kpi, isto é x=tfracpi4+ktfracpi2; máximo +1 reaparece em x=ktfracpi2 O gráfico é uma onda senoidal de período pi/2 e amplitude 1.

Passo 6

Como a imagem é um intervalo fechado [-1,1], concluímos que f é limitada superiormente por 1 e inferiormente por -1.

Passo 7

Por fim, os máximos globais de f são f(x)=1, que ocorrem em x=ktfracpi2 para qualquer inteiro k, e os mínimos globais são f(x)=-1, ocorrendo em x=tfracpi4+ktfracpi2.

Resposta

Domínio: R. Imagem: [-1,1]. A função é periódica de período tfracpi2 e amplitude 1. É limitada superiormente por 1 e inferiormente por -1. Possui máximos globais f(x)=1 em x=ktfracpi2 e mínimos globais f(x)=-1 em x=tfracpi4+ktfracpi2, para todo kinZ.

Exercícios relacionados