Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
Passo 1
A questão pede para esboçar o gráfico de f(x)=\cos(4x), determinar domínio, imagem, verificar se é limitada e se há máximos ou mínimos globais. O conteúdo envolvido é funções trigonométricas periódicas, em particular a função cosseno e suas propriedades de domínio, imagem e extremantes.
Passo 2
Para começar, vamos achar o domínio de f. A função cosseno está definida para todo x real, logo o domínio de f é
, ou seja, todos os números reais.
Passo 3
Em seguida, a imagem (conjunto-valor) de
é o intervalo
. Como f(x)=\cos(4x) apenas escala o argumento, mas não afeta os valores de saída, a imagem de f também é
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, precisamos da periodicidade e amplitude. A função
tem período
. Aqui o argumento é
, então o período em x satisfaz
, resultando em
A amplitude é 1 (varia entre -1 e 1).
Passo 5
Alguns pontos-chave para o esboço: inicia em x=0 com f(0)=\cos(0)=1; atinge zero quando
, ou seja
; mínimo
ocorre quando
, isto é
; máximo
reaparece em
O gráfico é uma onda senoidal de período
e amplitude 1.
Passo 6
Como a imagem é um intervalo fechado
, concluímos que f é limitada superiormente por 1 e inferiormente por -1.
Passo 7
Por fim, os máximos globais de f são f(x)=1, que ocorrem em
para qualquer inteiro k, e os mínimos globais são f(x)=-1, ocorrendo em
.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. A função é periódica de período
e amplitude 1. É limitada superiormente por 1 e inferiormente por -1. Possui máximos globais
em
e mínimos globais
em
, para todo
.