Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para gente esboçar o gráfico da função definida por partes, determinar seu domínio e imagem, e ver se ela é limitada ou não, além de identificar máximos ou mínimos. A matéria envolvida aqui é funções por partes, domínio, imagem e análise de limites e extremos. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como elas se juntam no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Aqui, a função está definida para todo $ x $ real, já que não há restrições nas duas partes. Então, o domínio é $ \mathbb{R} $.
Passo 3
Agora, vamos identificar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que $ f(x) $ pode assumir. Para isso, vamos analisar cada parte da função separadamente.
Para $ x < 3 $:
Essa é uma parábola com a concavidade para cima. O valor mínimo ocorre no vértice. O vértice de $ x^2 - 4 $ é em $ x = 0 $, e $ f(0) = -4 $. Como $ x $ tende a $ -\infty $, $ f(x) $ tende a $ +\infty $. Portanto, para $ x < 3 $, a imagem é $ [-4, +\infty) $.
Para $ x \geq 3 $:
Essa é uma função linear crescente. Quando $ x = 3 $, $ f(3) = 6 - 1 = 5 $. Conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ também aumenta sem limite. Portanto, para $ x \geq 3 $, a imagem é $ [5, +\infty) $.
Unindo as duas partes, a imagem total é $ [-4, +\infty) $.
Passo 4
Vamos verificar se a função é limitada. Uma função é limitada superiormente se existe um número que é maior que todos os valores da função, e limitada inferiormente se existe um número menor que todos os valores da função.
Aqui, tanto para $ x < 3 $ quanto para $ x \geq 3 $, a função tende a $ +\infty $ à medida que $ x $ aumenta ou diminui sem limite. Logo, não há um limite superior, ou seja, a função não é limitada superiormente.
Por outro lado, vimos que o menor valor que $ f(x) $ pode assumir é $ -4 $. Portanto, a função é limitada inferiormente.
Passo 5
Vamos agora identificar se a função possui máximos ou mínimos globais.
Para $ x < 3 $:
A função $ x^2 - 4 $ tem um mínimo global em $ x = 0 $, com $ f(0) = -4 $.
A função $ x^2 - 4 $ tem um mínimo global em $ x = 0 $, com $ f(0) = -4 $.
Para $ x \geq 3 $:
A função $ 2x - 1 $ é crescente e não possui máximo ou mínimo dentro desse intervalo, já que continua aumentando.
A função $ 2x - 1 $ é crescente e não possui máximo ou mínimo dentro desse intervalo, já que continua aumentando.
Portanto, a função inteira tem um único mínimo global em $ x = 0 $, com $ f(0) = -4 $.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função.
- Para $ x < 3 $, desenhe a parábola $ f(x) = x^2 - 4 $ com vértice em $ (0, -4) $.
- Para $ x \geq 3 $, desenhe a reta $ f(x) = 2x - 1 $ iniciando em $ x = 3 $ com $ f(3) = 5 $.
- Observe que há uma descontinuidade em $ x = 3 $, já que $ f(3) $ pela primeira parte seria $ 5 $ e pela segunda parte também $ 5 $, então o ponto $ (3,5) $ está bem no gráfico.
Resposta
O gráfico da função é composto por uma parábola $ f(x) = x^2 - 4 $ para $ x < 3 $ e uma reta $ f(x) = 2x - 1 $ para $ x \geq 3 $. O domínio é $ \mathbb{R} $ e a imagem é $ [-4, +\infty) $. A função não é limitada superiormente, mas é limitada inferiormente. Ela possui um mínimo global em $ x = 0 $, com $ f(0) = -4 $, e não possui máximos.