Encontre a integral indefinida das seguintes funções:
f(x)=\frac{3 \cos x}{7 \operatorname{sen}^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função
f(x)=\frac{3\cos x}{7\sin^{2}x}.
O conteúdo que vamos usar é técnica de fatoração de constantes e substituição simples para integrar funções trigonométricas.

Passo 2

Observe que a constante 3/7 pode ser fatorada para fora da integral:
\int \frac{3\cos x}{7\sin^{2}x}\,dx =\frac{3}{7}\int \frac{\cos x}{\sin^{2}x}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\sin x, \quad du=\cos x\,dx.
Então
\int \frac{\cos x}{\sin^{2}x}\,dx =\int \frac{1}{u^{2}}\,du =\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u^{-2}\,du =\frac{u^{-1}}{-1} =-u^{-1}+C =-\frac{1}{u}+C.
Voltando a x, temos
-\frac{1}{u}+C =-\frac{1}{\sin x}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{7}, concluímos que
\int \frac{3\cos x}{7\sin^{2}x}\,dx =-\frac{3}{7}\,\frac{1}{\sin x}+C.

Resposta

-\frac{3}{7\,\sin x}+C.

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