(2 pontos) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
(ii)
, onde
é o triângulo com vértices
e
.
(ii)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
onde
e
é o triângulo com vértices
,
e
orientado positivamente.
O conteúdo usado será o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região interna a
.
O conteúdo usado será o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região
Passo 2
Pelo Teorema de Green vale
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando é
.
Passo 3
Escrevemos a integral dupla:
Passo 4
Para descrever
, note que as arestas partem de
até
(reta
) e de
até
(reta
), e o terceiro lado é
,
. Assim
Passo 5
Calculamos
Primeiro a integral em
:
Passo 6
Agora integramos em
:
Portanto a integral de linha vale
, notando que o parâmetro
desapareceu pois
.