(2 pontos) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
(ii) \int c x^{2} d x+2 x^{2} y d y, onde C é o triângulo com vértices (0,0),(2,2) e (2,1).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\displaystyle \oint_{C}P\,dx + Q\,dy
onde
P(x,y)=c\,x^{2},\quad Q(x,y)=2\,x^{2}y,
e C é o triângulo com vértices (0,0), (2,2) e (2,1) orientado positivamente.
O conteúdo usado será o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região D interna a C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green vale
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2\,x^{2}y) =4\,x\,y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(c\,x^{2}) =0.
Logo o integrando é \,4xy.

Passo 3

Escrevemos a integral dupla:
\iint_{D}4\,x\,y\,dA.

Passo 4

Para descrever D, note que as arestas partem de (0,0) até (2,1) (reta y=\tfrac x2) e de (0,0) até (2,2) (reta y=x), e o terceiro lado é x=2, 1\le y\le2. Assim
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;\tfrac x2\le y\le x\}.

Passo 5

Calculamos
\iint_{D}4\,x\,y\,dA = \int_{x=0}^{2}\int_{y=\tfrac x2}^{x}4\,x\,y\,dy\,dx.
Primeiro a integral em y:
\int_{\tfrac x2}^{x}4\,x\,y\,dy =4\,x\biggl[\frac{y^{2}}{2}\biggr]_{y=\tfrac x2}^{y=x} =4\,x\Bigl(\frac{x^{2}}{2}-\frac{(x/2)^{2}}{2}\Bigr) =4\,x\Bigl(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{8}\Bigr) =4\,x\cdot\frac{3x^{2}}{8} =\frac{3x^{3}}{2}.

Passo 6

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}\frac{3x^{3}}{2}\,dx =\frac{3}{2}\,\biggl[\frac{x^{4}}{4}\biggr]_{0}^{2} =\frac{3}{2}\cdot\frac{16}{4} =\frac{3}{2}\cdot4 =6.
Portanto a integral de linha vale 6, notando que o parâmetro c desapareceu pois \partial P/\partial y=0.

Resposta

6

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