Resolva a equação de Airy pelo método de Frobenius, entorno de x=0
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Airy
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - x\,y = 0
em torno de x=0 pelo método de Frobenius. Como x=0 é ponto ordinário (os coeficientes são analíticos em x=0), buscamos solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+r}.
O primeiro passo é determinar os possíveis valores de r via a equação indicial.

Passo 2

Calculamos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r}, \quad y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)\,a_{n}x^{n+r-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)\,a_{n}x^{n+r-2}.
Substituindo em y''-x\,y=0 temos
\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_{n}\,x^{n+r-2} \;-\;\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+r+1} \;=\;0.

Passo 3

Para igualar as potências a x^{m+r} fazemos nas duas somas as mudanças de índice
  • na primeira: m=n-2,
  • na segunda: m=n+1.
    Obtemos
\sum_{m=-2}^{\infty}(m+r+2)(m+r+1)\,a_{m+2}\,x^{m+r} \;-\;\sum_{m=1}^{\infty}a_{m-1}\,x^{m+r} \;=\;0.
Do termo de menor ordem ( m=-2) surge a equação indicial
r(r-1)\,a_{0}=0 \quad\Longrightarrow\quad r=0\quad\text{ou}\quad r=1.
Para m\ge1 a condição de cancelamento do coeficiente de x^{m+r} dá a recorrência
(m+r+2)(m+r+1)\,a_{m+2} = a_{m-1} \quad\Longrightarrow\quad a_{m+2} = \frac{a_{m-1}}{(m+r+2)(m+r+1)}.

Passo 4

Escolhendo r=0 (ponto ordinário) a recorrência fica
a_{m+2}=\frac{a_{m-1}}{(m+2)(m+1)}.
Os coeficientes se acoplam de três em três, gerando duas séries independentes:
  • Tomando a_{0}=1 e a_{1}=0 surge
y_{1}(x) =1 +\frac{x^{3}}{3\cdot2} +\frac{x^{6}}{6\cdot5\cdot3\cdot2} +\cdots =1+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{6}}{180}+\cdots.
  • Tomando a_{0}=0 e a_{1}=1 surge
y_{2}(x) =x +\frac{x^{4}}{4\cdot3} +\frac{x^{7}}{7\cdot6\cdot4\cdot3} +\cdots =x+\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{7}}{504}+\cdots.

Passo 5

Como y_{1} e y_{2} são linearmente independentes, a solução geral da equação de Airy em torno de x=0 é
y(x) = C_{1}\,y_{1}(x) + C_{2}\,y_{2}(x).

Resposta

y(x) = C_{1}\Bigl(1+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{6}}{180}+\cdots\Bigr) + C_{2}\Bigl(x+\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{7}}{504}+\cdots\Bigr).

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