Resolva os sistemas lineares utilizando o método de eliminação de Gauss.
\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 7 & 1 \\\\ -3 & -5 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7 \\\\ 21 \\\\ -8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com a matriz dos coeficientes, o vetor incógnita e o vetor do lado direito. As informações relevantes são:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 7 & 1 \\\\ -3 & -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\\\ 21 \\\\ -8 \end{pmatrix}.
As incógnitas a determinar são x_{1}, x_{2} e x_{3}. O que se pede: encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem o sistema.

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada (matriz dos coeficientes com a coluna do lado direito) — é isso que vamos manipular com operações elementares de linha:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 7\\[4pt] 2 & 7 & 1 & 21\\[4pt] -3 & -5 & 2 & -8 \end{array}\right].
Lembre que operações de linha permitidas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra. Notação: R_i significa "linha i".]

Passo 3

Eliminação na coluna 1: queremos zeros abaixo do pivô (entrada (1,1)=1). Aplicamos as operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1.
Calcule passo a passo:
Para R_2:
2-2\cdot1=0,\quad 7-2\cdot2=3,\quad 1-2\cdot1=-1,\quad 21-2\cdot7=7.
Para R_3:
-3+3\cdot1=0,\quad -5+3\cdot2=1,\quad 2+3\cdot1=5,\quad -8+3\cdot7=13.
A matriz aumentada vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 3 & -1 & 7\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 13 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora pivotamos na posição (2,2), que é 3. Queremos zerar a entrada abaixo (linha 3, coluna 2). Fazemos:
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{3}R_2.
Calcule cada entrada de R_3:
Para a coluna 2: 1 - \tfrac{1}{3}\cdot 3 = 1 - 1 = 0.
Para a coluna 3: 5 - \tfrac{1}{3}\cdot(-1) = 5 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{15}{3} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{16}{3}.
Para o lado direito: 13 - \tfrac{1}{3}\cdot 7 = 13 - \tfrac{7}{3} = \tfrac{39}{3} - \tfrac{7}{3} = \tfrac{32}{3}.
A matriz aumentada fica triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 3 & -1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{16}{3} & \tfrac{32}{3} \end{array}\right].]

Passo 5

Chegamos a uma equação com uma única incógnita na última linha. A partir da última linha obtemos x_3. A equação corresponde a
\tfrac{16}{3}x_3 = \tfrac{32}{3}.
Dividindo ambos os lados por \tfrac{16}{3} (ou multiplicando por seu inverso), temos
x_3 = \frac{\tfrac{32}{3}}{\tfrac{16}{3}} = \frac{32}{16} = 2.

Passo 6

Agora voltamos à segunda linha (substituição para x_2). A segunda linha representa
3x_2 - 1\cdot x_3 = 7.
Substituindo x_3=2:
3x_2 - 2 = 7 \quad\Rightarrow\quad 3x_2 = 9 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 3.

Passo 7

Finalmente, usamos a primeira linha para x_1. A primeira linha dá
x_1 + 2x_2 + x_3 = 7.
Substituindo x_2=3 e x_3=2:
x_1 + 2\cdot3 + 2 = 7 \quad\Rightarrow\quad x_1 + 6 + 2 = 7 \quad\Rightarrow\quad x_1 + 8 = 7 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -1.

Passo 8

Verificação rápida (substituir na equação original) — só para ficar tranquilo:
Primeira equação: (-1) + 2\cdot 3 + 2 = -1 + 6 + 2 = 7 OK.
Segunda: 2(-1) + 7\cdot 3 + 1\cdot 2 = -2 + 21 + 2 = 21 OK.
Terceira: -3(-1) -5\cdot 3 + 2\cdot 2 = 3 -15 + 4 = -8 OK.
Solução conferida.

Resposta

x_{1} = -1
x_{2} = 3
x_{3} = 2

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