Resolva os sistemas lineares utilizando o método de eliminação de Gauss.
\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\\\ 3 & -3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 8 \\\\ 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear formado pela matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes. Precisamos encontrar as incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}. As informações são:
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\[4pt] 3 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[4pt] 8\\[4pt] 0 \end{pmatrix}
O que se pede: determinar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem esse sistema.]

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (eliminação de Gauss, sem pular etapas): podemos transformar o sistema em um sistema triangular superior usando operações elementares sobre linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra). Depois, fazemos substituição regressiva (back substitution) para obter as incógnitas. Escolho, por conveniência, trocar a linha 1 com a linha 2 para ficar com um pivô maior (isso reduz frações intermediárias).
Faço a troca R_1 \leftrightarrow R_2. A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 1\\[4pt] 3 & -3 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right]
após R_1 \leftrightarrow R_2 fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -3 & 1 & 8\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 3

Agora eliminamos a entrada abaixo do pivô 3 (na coluna 1). Calculamos o multiplicador para zerar a posição (2,1):
m_{21}=\frac{2}{3}.
Aplicamos R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1. Vou calcular cada entrada de R_2:
  • Coluna 1: 2 - \frac{2}{3}\cdot 3 = 2 - 2 = 0.
  • Coluna 2: 3 - \frac{2}{3}\cdot(-3) = 3 + 2 = 5.
  • Coluna 3: 1 - \frac{2}{3}\cdot 1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.
  • Termo independente: 1 - \frac{2}{3}\cdot 8 = 1 - \frac{16}{3} = -\frac{13}{3}.
Portanto a nova linha R_2 é \big[0\;5\;\tfrac{1}{3}\;\big|\;-\tfrac{13}{3}\big]. R_3 já tem zero na primeira coluna, então permanece igual. A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -3 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 5 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{13}{3}\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora usamos o pivô da linha 2, que é 5 (posição (2,2)), para eliminar a entrada (3,2) que vale 2. Calculamos o multiplicador
m_{32}=\frac{2}{5}.
Aplicamos R_3 \leftarrow R_3 - m_{32}R_2. Calculo cada entrada de R_3:
  • Coluna 1: 0 - \frac{2}{5}\cdot 0 = 0.
  • Coluna 2: 2 - \frac{2}{5}\cdot 5 = 2 - 2 = 0.
  • Coluna 3: 1 - \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3} = 1 - \frac{2}{15} = \frac{15}{15} - \frac{2}{15} = \frac{13}{15}.
  • Termo independente: 0 - \frac{2}{5}\cdot\big(-\frac{13}{3}\big) = \frac{2}{5}\cdot\frac{13}{3} = \frac{26}{15}.
Assim R_3 fica \big[0\;0\;\tfrac{13}{15}\;\big|\;\tfrac{26}{15}\big]. A matriz agora é triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -3 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 5 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{13}{3}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{13}{15} & \tfrac{26}{15} \end{array}\right].]

Passo 5

Agora fazemos a substituição regressiva (back substitution). A terceira equação (linha 3) corresponde a
\frac{13}{15}x_{3}=\frac{26}{15}.
Multiplicando ambos os lados por 15 (para eliminar denominadores) dá
13x_{3}=26,
logo
x_{3}=2.

Passo 6

Usamos x_{3}=2 na segunda equação (linha 2). A linha 2 corresponde a
5x_{2}+\frac{1}{3}x_{3}=-\frac{13}{3}.
Substituindo x_{3}=2:
5x_{2}+\frac{1}{3}\cdot 2 = -\frac{13}{3}.
Calculo o termo com x_{3}: \frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}. Então
5x_{2}+\frac{2}{3}=-\frac{13}{3}.
Subtraindo \tfrac{2}{3} de ambos os lados:
5x_{2}=-\frac{13}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{15}{3}=-5.
Dividindo por 5:
x_{2}=-1.

Passo 7

Finalmente usamos x_{2}=-1 e x_{3}=2 na primeira equação (linha 1). A linha 1 corresponde a
3x_{1}-3x_{2}+x_{3}=8.
Substituindo:
3x_{1}-3(-1)+2=8.
Calculando -3(-1)=3, então
3x_{1}+3+2=8 \quad\Rightarrow\quad 3x_{1}+5=8.
Subtraindo 5:
3x_{1}=3,
portanto
x_{1}=1.

Passo 8

Checagem rápida (substituir na forma original para confirmar):
  • Primeira equação: 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=2\cdot1+3\cdot(-1)+2=2-3+2=1 (confere).
  • Segunda equação: 3x_{1}-3x_{2}+x_{3}=3\cdot1-3\cdot(-1)+2=3+3+2=8 (confere).
  • Terceira equação: 0\cdot x_{1}+2x_{2}+x_{3}=2\cdot(-1)+2=-2+2=0 (confere).
Tudo batendo com os termos do enunciado.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-1
x_{3}=2

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