Encontre a integral
, onde
e
é a curva parametrizada por
com
.
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
, onde o campo vetorial
e a curva
é parametrizada por
com
variando de -1 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha em campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dará
. Derivando cada componente de
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na função
pelos componentes de
:
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto escalar
:
Passo 5
Agora, integramos essa expressão em relação a
de -1 a 1:
Vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral
vale 4.