Encontre a integral integralC F cdot d r, onde F(x, y)=x y imath+3 x jmath e C é a curva parametrizada por r(t)=t imath+t^2 jmath com t in[-1,1].

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralC F cdot d r, onde o campo vetorial F(x, y) = x y imath + 3 x jmath e a curva C é parametrizada por r(t) = t imath + t^2 jmath com t variando de -1 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha em campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que nos dará dr. Derivando cada componente de r(t):
drdt = ddt(t) imath + ddt(t^2) jmath = 1 imath + 2t jmath

Passo 3

Agora, substituímos x e y na função F(x, y) pelos componentes de r(t):
F(r(t)) = F(t, t^2) = t cdot t^2 imath + 3 t jmath = t^3 imath + 3 t jmath

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot drdt:
F(r(t)) cdot drdt = (t^3 imath + 3 t jmath) cdot (1 imath + 2 t jmath) = t^3 cdot 1 + 3 t cdot 2 t = t^3 + 6 t^2

Passo 5

Agora, integramos essa expressão em relação a t de -1 a 1:
integral-1^1 (t^3 + 6 t^2) dt
Vamos integrar termo a termo:
integral t^3 dt = t^44 e integral 6 t^2 dt = 6 cdot t^33 = 2 t^3
Portanto, a integral fica:
[ t^44 + 2 t^3 ]-1^1

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração:
Para t = 1:
1^44 + 2 cdot 1^3 = 14 + 2 = 94
Para t = -1:
(-1)^44 + 2 cdot (-1)^3 = 14 - 2 = -74
Subtraindo:
94 - ( -74 ) = 94 + 74 = 164 = 4

Resposta

A integral integralC F cdot d r vale 4.

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