A lâmina na forma da região do primeiro quadrante, limitada pela circunferência x^2+y^2=4 e pela reta x+y=2. A densidade de massa por unidade de área em qualquer ponto é x y kg-m^2.

Passo 1

A lâmina ocupa a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência ,x^2+y^2=4 e pela reta ,x+y=2. A densidade superficial é de<a(x,y)=x,y. Queremos a massa
m=integral duplaRx,y,dA,
onde R é a região entre o arco de círculo de raio 2 e o segmento de reta que une (2,0) a (0,2).

Passo 2

Usamos coordenadas polares ,x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta. No primeiro quadrante thetain[0,tfracpi2]. A reta x+y=2 vira
r(costheta+sintheta)=2 Longrightarrow rrm min=2costheta+sintheta,
e o círculo é rrm max=2. Logo
m=integral0^pi/2!integralrmin^2 (rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta =integral0^pi/2!integralrmin^2r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em r:
integralrmin^2r^3,dr =14l(2^4-rmin^4r) =14l(16-l[tfrac2costheta+sinthetar]^4r)
Então
m =integral0^pi/2costhetasintheta, 14l(16-tfrac16(costheta+sintheta)^4r)dtheta =4integral0^pi/2l(costhetasintheta-costhetasintheta(costheta+sintheta)^4r)dtheta

Passo 4

Separamos
m =4l[ I1-I2r], I1=integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta, I2=integral0^pi/2costhetasintheta(costheta+sintheta)^4,dtheta

Passo 5

I1 =integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta =12integral0^pi/2sin(2theta),dtheta =12l[-tfrac12cos(2theta)r]0^pi/2 =12

Passo 6

Fazendo a mudança phi=theta+tfracpi4 revela que
I2 =16
(Detalhes: usa-se costheta+sintheta=raiz2sinphi e decomposição em potências de cscphi.)

Passo 7

Logo
m=4l(tfrac12-tfrac16r) =4cdottfrac13 =43

Resposta

A massa da lâmina é 43 kg.

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