Problemas de valor de fronteira. Quando os valores de uma solução para uma equação diferencial são especificados em dois pontos diferentes, essas condições são chamadas de condições de fronteira. (Ao contrário, as condições iniciais especificam os valores de uma função e sua derivada no mesmo ponto.) A finalidade deste exercício é mostrar que, para problemas de valor de fronteira, não há teorema de existência-unicidade que seja semelhante ao Teorema 1. Dado que cada solução para (17) tem a forma $$ y(t)=c_{1} \cos t+c_{2} \operatorname{sen} t,.

Passo 1

Temos o problema de valor de fronteira dado pela EDO
y'' + y = 0
cuja solução geral é
y(t) = c1cos t + c2sin t
As condições de fronteira fornecem valores de y em dois pontos distintos. Para cada item (a), (b) e (c), vamos impor essas condições em t=0 e em t igual ao ponto indicado, obter um sistema linear para c1,c2 e analisar se ele tem solução única, nenhuma ou infinitas.

Passo 2

(a) Condições y(0)=2 e y(pi/2)=0.
Em t=0:
y(0)=c1cos0 + c2sin0 = c1cdot1 + c2cdot0 = c1 = 2
Em t=pi/2:
yl(tfracpi2r)=c1cos!tfracpi2 + c2sin!tfracpi2 = c1cdot0 + c2cdot1 = c2 = 0
O sistema é
c1=2, c2=0,
que tem solução única. Portanto
y(t)=2cos t

Passo 3

(b) Condições y(0)=2 e y(pi)=0.
Em t=0:
c1=2
Em t=pi:
y(pi)=c1cospi + c2sinpi = c1,(-1)+c2,0 = -c1 = 0 ;Longrightarrow;-2=0,
uma contradição. Logo, não existe solução que satisfaça essas duas condições.

Passo 4

(c) Condições
Em :
que é automaticamente satisfeito para qualquer . Assim o sistema fica
çã
e há infinitas soluções dado que (c_{2}\in\mathbb{R}] é livre. Todas elas são

Resposta

(a) Existe solução única:
y(t)=2cos t
(b) Não existe solução.
(c) Existem infinitas soluções:
y(t)=2cos t + c2sin t, c2inR

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