Use a Definição 1 para determinar se as funções y1 e y2 são linearmente dependentes do intervalo (0,1). y1(t)=tg^2 t-sec ^2 t, y2(t) equiv 3

Passo 1

O enunciado pede para verificar, no intervalo (0,1), se as funções são linearmente dependentes segundo a Definição 1, que diz: existem constantes c1 e c2 não simultaneamente nulas tais que c1 y1(t) + c2 y2(t) = 0 para todo t no intervalo.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica tan^2 t = sec^2 t - 1. Assim,
y1(t)=tan^2 t - sec^2 t = (sec^2 t - 1) - sec^2 t = -1

Passo 3

Logo, no intervalo considerado temos y1(t)equiv -1 e y2(t)equiv 3. Para achar a combinação linear não trivial, basta escolher constantes c1 e c2 tal que
c1(-1)+c2(3)=0

Passo 4

Por exemplo, com c1=3 e c2=1 obtemos 3·y1 + 1·y2 = 3(-1)+1·3 = 0, mostrando dependência linear.

Resposta

As funções y1 e y2 são linearmente dependentes no intervalo (0,1).

Exercícios relacionados