Eucontre a integral integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=x i+x z j-y z k e C é a curva parametrizada por r(t)=i+t^2 j-t k com t in[-1,1].

Passo 1

A integral de linha que queremos calcular é a de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada. Mais precisamente, temos
A integral de linha é integralC Fcdot dr de um campo vetorial
F(x,y,z)=x,i+xz,j-yz,k
o longo da curva C parametrizada por
r(t)=i+t^2,j-t,k, tin[-1,1]
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial. Vamos usar a fórmula

Passo 2

Para aplicar a fórmula, primeiro encontramos a derivada da parametrização. Da componente a componente de r(t)=(1,,t^2,,-t) temos
r'(t)=l(0,,2t,,-1r)

Passo 3

Em seguida, substituímos x=1, y=t^2 e z=-t em F(x,y,z) para obter F(r(t)):
F(r(t))=l(1,,1cdot(-t),,-(t^2)cdot(-t)r)=l(1,,-t,,t^3r)

Passo 4

O elemento de arco é dr=r'(t),dt. Fazendo o produto escalar
F(r(t))cdot r'(t)=lang<=1,,-t,,t^3rang<=cdotlang<=0,,2t,,-1rang<==-2t^2 - t^3,
a integral se reduz a
integral-1^1l(-2t^2 - t^3r),dt

Passo 5

Para avaliar essa integral, calculamos as primitivas:
integrall(-2t^2 - t^3r)dt=-tfrac23t^3-tfrac14t^4+ C
Avaliando de -1 a 1 temos:
l[-tfrac23t^3-tfrac14t^4r]-1^1=igl(-tfrac23-tfrac14r)-l(tfrac23-tfrac14r)=-tfrac1112-tfrac512=-tfrac43 

Resposta

-4/3

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