Questão 6

Para a função abaixo, com domínio real,
f(x)=-3+2^{\frac{x}{2}},
(a) determine o valor x em que tem sua raíz,
(b) determine seu valor onde intercepta o eixo vertical,
(c) faça um esboço do gráfico,
(d) determine sua imagem.
Resposta enviada:
Expectativa de Resposta:
(a) f(x)=0 \rightarrow-3+2^{x / 2}=0 \rightarrow x=2 \log _{2}(3).
(b) f(0)=-3+2.
(c) Gráfico de uma exponencial crescente a partir de -3 .
(d) I_{f}=(-3,+\infty).
Observações da correção:

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x) = -3 + 2^{x/2}
definida para todo x\in\mathbb{R}. Pede-se:
(a) a raiz de f,
(b) o intercepto com o eixo y,
(c) um esboço do gráfico,
(d) a imagem de f.
Para isso usaremos propriedades de funções exponenciais e logaritmos, além de análise de limites para determinar assimptotas e comportamento extremo.

Passo 2

Para encontrar a raiz, impomos f(x)=0:
-3 + 2^{x/2} = 0
2^{x/2} = 3
Aplicando logaritmo na base 2,
\frac{x}{2} = \log_2(3)
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x = 2\,\log_2(3).

Passo 3

O intercepto vertical ocorre em x=0. Calculamos
f(0) = -3 + 2^{0/2} = -3 + 1 = -2.
Assim o ponto de interseção com o eixo y é (0,-2).

Passo 4

O gráfico de \,f(x)=-3+2^{x/2} é um exponencial de base 2>1 deslocado 3 unidades para baixo. Consequentemente:
– Tem assimptota horizontal em y=-3, pois quando x\to-\infty, 2^{x/2}\to0 e f(x)\to-3.
– É crescente, pois a base é maior que 1.
– Passa por (0,-2) e cruza o eixo x em x=2\log_2(3).

Passo 5

Como \lim_{x\to-\infty}f(x)=-3 e \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, a imagem é o intervalo
(-3,\,+\infty).

Resposta

(a) x = 2\log_2(3).
(b) Intercepto em (0,-2).
(c) Exponencial crescente com assimptota em y=-3, passando por (0,-2) e cruzando o eixo x em x=2\log_2(3).
(d) \mathrm{Im}(f)=(-3,+\infty).

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