Use C.Cil para calcular:
a) \iiint_{E} \mathrm{ydV}, em que E é o sólido entre os cilindros x^{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=4, acima do plano x y e abaixo do plano \mathrm{z}=\mathrm{x}+2.
b) \iiint_{E} x^{2} \mathrm{dV}, em que E é o sólido dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1, acima do plano \mathrm{z}=0 e abaixo do cone z^{2}=4 x^{2}+4 y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede dois integrais triplos usando coordenadas cilíndricas. Em cilindricas, temos
\displaystyle x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dV = r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 2

(a) Região E: entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, acima do plano z=0 e abaixo do plano z=x+2. Em cilíndricas:
1 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le z \le r\cos\theta + 2.
Integrando \displaystyle \iiint_{E} y\,dV, como y = r\sin\theta, o integrando vira
y\,dV = (r\sin\theta)\,r\,dz\,dr\,d\theta = r^2\sin\theta\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculemos
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2}\!\int_{0}^{r\cos\theta+2} r^2\sin\theta \,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2} r^2\sin\theta\bigl(r\cos\theta+2\bigr)\,dr\,d\theta.
Em r:
\int_{1}^{2}r^2(r\cos\theta+2)\,dr =\cos\theta\frac{15}{4}+ \frac{14}{3}.
Logo o integral em \theta é
\int_{0}^{2\pi}\Bigl(\tfrac{15}{4}\cos\theta\sin\theta+\tfrac{14}{3}\sin\theta\Bigr)d\theta =0,
pois \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0 e \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=0.

Passo 4

(b) Região E: dentro do cilindro x^2+y^2=1, acima de z=0 e abaixo do cone z^2=4(x^2+y^2). Como z\ge0, temos 0\le z\le 2r, com
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi.
O integrando é \displaystyle x^2\,dV = (r\cos\theta)^2\,r\,dz\,dr\,d\theta = r^3\cos^2\theta\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Primeiro em z:
\int_{0}^{2r}r^3\cos^2\theta\,dz = 2r\cdot r^3\cos^2\theta = 2r^4\cos^2\theta.
Depois em r e \theta:
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}2r^4\cos^2\theta\,dr\,d\theta =2\Bigl(\int_{0}^{1}r^4\,dr\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\Bigr) =2\cdot\frac{1}{5}\cdot\pi =\frac{2\pi}{5}.

Resposta

a) 0
b) \displaystyle \frac{2\pi}{5}

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