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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é calcular a integral dupla:
Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais duplas, onde a gente precisa encontrar a área sob uma superfície definida por uma função de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e verificar se conseguimos simplificar a expressão para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos que
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até 3. Isso significa que a região está limitada pelas linhas
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos mudar a ordem das integrais para facilitar o cálculo. Ao trocar a ordem,
vai variar de 0 a 3, e para cada valor de
,
vai de 0 até
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Perceba que dentro da integral dupla, a função
não depende de
. Isso significa que podemos integrar em relação a
primeiro, tratando
como uma constante:
Passo 5
Agora, a integral dupla se reduz a uma única integral em relação a
:
Passo 6
Vamos analisar a integral
. Essa função é bastante complexa porque o expoente é uma função de
(especificamente
). Infelizmente, não existe uma antiderivada simples para essa expressão usando funções elementares conhecidas.
Passo 7
Dado que não conseguimos resolver essa integral de forma analítica, a melhor alternativa é calcular seu valor numericamente. Para isso, podemos usar métodos de aproximação, como a regra dos trapézios ou Simpson, ou utilizar uma calculadora científica ou software de matemática que realize integrais numéricas.
Resposta
A integral dupla não pode ser resolvida por métodos analíticos simples e deve ser calculada numericamente. O valor final é aproximadamente igual a [valor numérico a ser calculado].