Encontre inteiros n1, n2, n3 >= 1 tais que
(a) n/2^n < 1/10 para n ≥ n1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa encontrar aqui é um número inteiro, que vou chamar de , tal que para todo número maior ou igual a , a expressão seja menor que . Ou seja, estamos trabalhando com desigualdades envolvendo potências e precisamos achar a partir de que ponto essa relação fica verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão . Aqui, é um número que está no numerador e também no expoente de 2 no denominador. Isso significa que conforme aumenta, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, fazendo com que a fração diminua.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o menor valor de , isto é, , onde . Para isso, podemos começar testando valores de começando de 1 e aumentando até encontrar o ponto onde a desigualdade se torna verdadeira.

Passo 4

Vamos calcular para alguns valores de :
  • Para :
    E , então não serve.
  • Para :
    Ainda .
  • Para :
    Ainda maior que .
  • Para :
    Ainda maior que .
  • Para :
    Ainda está acima de .
  • Para :
    Agora, . Conseguimos!

Passo 5

Encontramos que para , a expressão é menor que . Portanto, .

Resposta

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