Encontre inteiros
tais que
(a)
para
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa encontrar aqui é um número inteiro, que vou chamar de
, tal que para todo número
maior ou igual a
, a expressão
seja menor que
. Ou seja, estamos trabalhando com desigualdades envolvendo potências e precisamos achar a partir de que ponto essa relação fica verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão
. Aqui,
é um número que está no numerador e também no expoente de 2 no denominador. Isso significa que conforme
aumenta, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, fazendo com que a fração diminua.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de
, isto é,
, onde
. Para isso, podemos começar testando valores de
começando de 1 e aumentando até encontrar o ponto onde a desigualdade se torna verdadeira.
Passo 4
Vamos calcular
para alguns valores de
:
-
Para
: E, então não serve. -
Para
: Ainda. -
Para
: Ainda maior que. -
Para
: Ainda maior que. -
Para
: Ainda está acima de. -
Para
: Agora,. Conseguimos!
Passo 5
Encontramos que para
, a expressão
é menor que
. Portanto,
.