Sabendo que o ângulo entre os vetores u = (1, m, 2) e vec(j) é pi / 6, determine m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores: e . A questão nos diz que o ângulo entre eles é pi/6. Nosso objetivo é descobrir o valor de m. Para isso, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona o ângulo entre dois vetores:
Aqui, theta é o ângulo entre os vetores u e v, u . v é o produto escalar, e e são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores u e vec(j):
E para vec(j):

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos resolver para m. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Em seguida, elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Simplificando:

Passo 7

Vamos isolar . Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 4:

Resposta

Portanto, o valor de m é:

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