Dê uma parametrização para a curva r dada pela interseção das seguintes superfícies:
x^2+y^2=1 e y+z=2.

Passo 1

A curva
interseção entre o cilindro x^2+y^2=1 e o plano y+z=2 vive em R^3 e é obtida pela sobreposição de uma circunferência no plano xy com uma reta definida pelo plano. O conteúdo aqui é parametrizar uma curva espacial dado um sistema de superfícies. Para isso, vamos usar um parâmetro t que descreve a circunferência e depois achar z a partir da equação do plano.

Passo 2

Podemos começar lembrando que a equação x^2+y^2=1 descreve um círculo de raio 1 no plano xy. Usamos o parâmetro angular t para escrever:
x = cos t, y = sin t,

Passo 3

Agora, substituímos y=sin t na equação do plano y+z=2 para encontrar z. Assim, temos:
z = 2 - y = 2 - sin t

Passo 4

Reunindo as três coordenadas em função de t, obtemos a parametrização da curva de interseção.

Resposta

Uma parametrização para a curva é
vec r(t) = (cos t,;sin t,;2 - sin t), tin[0,2pi]

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