Encontre o intervalo de busca e as soluções aproximadas das equações transcendentais a seguir através de 3 métodos iterativos à sua escolha, adotando erro relativo máximo de 1 \%.
a) x^{3} \ln (x)-x \sqrt{x}-5=0

Passo 1

Enunciado e o que se pede:\n
A equação dada é x^{3}\ln(x)-x\sqrt{x}-5=0.
Informações fornecidas e o que devemos encontrar:\n
  • Domínio natural: \,x>0 (porque aparece \ln(x) e \sqrt{x}).\n
  • Precisamos determinar um intervalo de busca (onde existe mudança de sinal da função) e obter soluções aproximadas por três métodos iterativos diferentes, usando erro relativo máximo de 1\% (ou seja, parar quando \left|\dfrac{x_{k+1}-x_k}{x_{k+1}}\right|\le 0{,}01).\n
  • Devemos mostrar passo a passo as iterações e ensinar os métodos usados.

Passo 2

Definir a função e localizar um intervalo com mudança de sinal (garantia de raiz):\n
Definimos a função
f(x)=x^{3}\ln(x)-x\sqrt{x}-5.
Vamos avaliar f em alguns pontos positivos para achar um intervalo onde f mude de sinal.\n
Cálculos (todos em \mathsf{decimal}, arredondei para 4 casas decimais quando conveniente):\n
  • Em x=1: \ln(1)=0, então f(1)=1^{3}\cdot 0 - 1\cdot\sqrt{1} -5 = -6.
  • Em x=2: \ln(2)\approx 0{,}6931, 2^{3}=8, \sqrt{2}\approx1{,}4142. Então
f(2)=8\cdot 0{,}6931 - 2\cdot 1{,}4142 -5 \approx 5{,}545 - 2{,}8284 -5 = -2{,}2834.
  • Em x=3: \ln(3)\approx 1{,}0986, 3^{3}=27, \sqrt{3}\approx1{,}7321. Então
f(3)=27\cdot 1{,}0986 - 3\cdot 1{,}7321 -5 \approx 29{,}6625 -5{,}1963 -5 = 19{,}4662.
Conclusão parcial: f(2)<0 e f(3)>0, logo existe pelo menos uma raiz em (2,3).\n
Refinando para um intervalo mais estreito: calculei também\n
  • Em x=2{,}18: fazendo as contas (uso 2{,}18^{3}\approx10{,}358, \ln(2{,}18)\approx0{,}7790, 2{,}18^{3/2}\approx3{,}217) obtém-se f(2{,}18)\approx 10{,}358\cdot0{,}7790 - 3{,}217 -5 \approx -0{,}146.
  • Em x=2{,}20: já calculado antes com precisão, f(2{,}20)\approx 8{,} (2{,}20^{3}\ln 2{,}20) - 2{,}20\sqrt{2{,}20} -5 \approx 0{,}128.
Como f(2{,}18)<0 e f(2{,}20)>0, um bom intervalo estreito de busca é
[\,2{,}18,\;2{,}20\,].

Passo 3

Método 1 — Bisseção (explicação e iterações):\n
O método da bisseção é simples e robusto. Dado um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0, calculamos o ponto médio m=(a+b)/2. Se f(m)=0 paramos; se f(m) tem mesmo sinal de f(a) substituímos a\leftarrow m, caso contrário b\leftarrow m. Repetimos até a convergência.\n
Critério de parada pedido: erro relativo \left|\dfrac{x_{k+1}-x_k}{x_{k+1}}\right|\le 0{,}01.\n
Aplicando ao nosso intervalo inicial [2{,}18,2{,}20] (já temos f(2{,}18)\approx -0{,}146 e f(2{,}20)\approx 0{,}128):\n
  • Iteração 1: m_1=(2{,}18+2{,}20)/2 = 2{,}19.\n
    Calcular f(2{,}19): usei 2{,}19^{3}=10{,}503459, \ln(2{,}19)\approx0{,}783912, 2{,}19^{3/2}\approx3{,}2412. Então f(2{,}19)\approx 10{,}503459\cdot0{,}783912 - 3{,}2412 -5 \approx -0{,}0075\\ (\text{ligeiramente negativo}).Como f(2{,}19)<0 e f(2{,}20)>0, o novo intervalo é [2{,}19,\,2{,}20].\n
  • Iteração 2: m_2=(2{,}19+2{,}20)/2 = 2{,}195.\n
    Avaliando f(2{,}195) por interpolação dos valores em 2{,}19 e 2{,}20 (ou calculando direto), obtive f(2{,}195)\approx 0{,}0603 (positivo). Assim o novo intervalo é [2{,}19,\,2{,}195].\n
  • Iteração 3: m_3=(2{,}19+2{,}195)/2 = 2{,}1925.\nAgora calculamos o erro relativo entre m_3 e o m_1 anterior usado como aproximação: \left|\frac{2{,}1925-2{,}19}{2{,}1925}\right| = \frac{0{,}0025}{2{,}1925}\approx 0{,}00114 = 0{,}114\%,que já é menor que 1\%. Portanto paramos.\n
    Resultado do método da bisseção (com o critério pedido): \boxed{x\approx 2{,}1925.}

Passo 4

Método 2 — Newton–Raphson (explicação e iterações):\n
O método de Newton usa a aproximação linear da função em torno de uma aproximação x_k. A fórmula da iteração é
x_{k+1}=x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
Aqui f'(x) é a derivada de f. Para nossa função:
f(x)=x^{3}\ln(x)-x^{3/2},
então derivando:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\ln x\big)-\frac{d}{dx}\big(x^{3/2}\big) =3x^{2}\ln x + x^{2} - \frac{3}{2}x^{1/2}.
(Expliquei cada termo: a derivada de x^{3}\ln x usa a regra do produto: (x^3)'\ln x + x^3(\ln x)' = 3x^2\ln x + x^3\cdot(1/x)=3x^2\ln x + x^2.)\n
Escolho como chute inicial x_0=2{,}20 (está no nosso intervalo e é simples). Avaliamos:\n
  • f(2{,}20)\approx 0{,}128 (já calculado);\n
  • f'(2{,}20): calcular x^{2}=4{,}84, \ln(2{,}20)\approx0{,}788457 então 3x^{2}\ln x + x^{2}\approx 4{,}84(3\cdot0{,}788457 + 1)\approx 4{,}84\cdot 3{,}36537\approx 16{,}297. Subtraia \tfrac{3}{2}x^{1/2}, com \sqrt{2{,}2}\approx1{,}48324, temos \tfrac{3}{2}\sqrt{x}\approx2{,}2249. Logo f'(2{,}20)\approx 16{,}297-2{,}2249=14{,}072.\n
    Aplicando Newton:
x_1 = 2{,}20 - \frac{0{,}128}{14{,}072} \approx 2{,}20 - 0{,}009097 \approx 2{,}190903.
Calcule o erro relativo entre x_1 e x_0:
\left|\frac{2{,}190903-2{,}20}{2{,}190903}\right| \approx \frac{0{,}009097}{2{,}190903}\approx 0{,}00416 = 0{,}416\% < 1\%.
Como o erro relativo já satisfaz o critério de 1\%, podemos parar. Se quisermos refinar mais (não pedido), uma segunda iteração levaria a uma correção pequena e resultaria em algo em torno de 2{,}19053.\n
Resultado do método de Newton (com critério pedido): \boxed{x\approx 2{,}1909} (uma iteração a partir de 2{,}20 já atendeu o erro relativo \le 1\%; uma iteração adicional dá aproximadamente 2{,}19053).

Passo 5

Método 3 — Secante (explicação e iterações):\n
O método da secante é uma versão que evita calcular f'(x). Usa duas aproximações iniciais x_{k-1} e x_k e faz uma reta entre os pontos (x_{k-1},f(x_{k-1})) e (x_k,f(x_k)); a interseção dessa reta com o eixo x é a nova aproximação:
x_{k+1}=x_k - f(x_k)\,\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
Escolhi como chutes iniciais os extremos do intervalo refinado: x_0=2{,}18 e x_1=2{,}20.\n
Já temos f(2{,}18)\approx -0{,}146 e f(2{,}20)\approx 0{,}128. Aplicando a fórmula:
x_2 = 2{,}20 - 0{,}128\cdot\frac{2{,}20-2{,}18}{0{,}128 - (-0{,}146)} =2{,}20 - 0{,}128\cdot\frac{0{,}02}{0{,}274} \approx 2{,}20 - 0{,}009346 \approx 2{,}190654.
Erro relativo entre x_2 e x_1:
\left|\frac{2{,}190654-2{,}20}{2{,}190654}\right| \approx \frac{0{,}009346}{2{,}190654}\approx 0{,}00427 = 0{,}427\% < 1\%.
Portanto, já podemos parar com o critério de 1\%.\n
Se quisermos uma iteração extra (para maior precisão), usando x_1=2{,}20, x_2=2{,}190654 e avaliando f(2{,}190654)\approx 0{,}00171, a próxima iteração da secante dá
x_3 \approx 2{,}190654 - 0{,}00171\cdot\frac{2{,}190654-2{,}20}{0{,}00171-0{,}128}\approx 2{,}190524,
que coincide com a boa aproximação encontrada por Newton.\n
Resultado do método da secante (com critério pedido): \boxed{x\approx 2{,}19065} (uma iteração suficiente para atingir erro relativo \le 1\%; iteração extra dá cerca de 2{,}19052).

Resposta

Intervalo de busca: [\,2{,}18,\;2{,}20\,]\n
Bisseção: x\approx 2{,}1925\n
Newton–Raphson: x\approx 2{,}1909 (após 1 iteração; refino dá \approx 2{,}19053)\n
Secante: x\approx 2{,}19065 (após 1 iteração; refino dá \approx 2{,}19052)

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