Resolva as E. D. O.s de 1a. ordem abaixo e os P.V.I usando a técnica que for conveniente.
(e^2 y-y cos x y) d x+(2 x e^2 y+2 y-x cos x y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem juntos! A equação que você passou é:
(e^2 y - y cos(x y)) dx + (2x e^2 y + 2 y - x cos(x y)) dy = 0
Vamos usar o conteúdo sobre equações diferenciais exatas para resolver essa equação. O que precisamos fazer é verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções M(x, y) e N(x, y) que multiplicam dx e dy respectivamente:
M(x, y) = e^2 y - y cos(x y)
N(x, y) = 2x e^2 y + 2 y - x cos(x y)
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x :
partial Mpartial y = 2 e^2 y - cos(x y) + x y sin(x y)
partial Npartial x = 2 e^2 y - cos(x y) + x y sin(x y)
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, sabemos que existe uma função F(x, y) tal que:
dF = M dx + N dy
Para encontrar F(x, y) , integramos M em relação a x :
F(x, y) = integral M dx + g(y)
F(x, y) = integral (e^2 y - y cos(x y)) dx + g(y)
Vamos integrar termo a termo:
integral e^2 y dx = e^2 y x
integral -y cos(x y) dx = -y cdot sin(x y)y = -sin(x y)
Então:
F(x, y) = e^2 y x - sin(x y) + g(y)

Passo 4

Para encontrar g(y) , derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y) :
partial Fpartial y = 2 e^2 y x - x cos(x y) + g'(y) = N(x, y) = 2x e^2 y + 2 y - x cos(x y)
Simplificando:
2 e^2 y x - x cos(x y) + g'(y) = 2x e^2 y + 2 y - x cos(x y)
Subtraindo os termos iguais de ambos os lados:
g'(y) = 2 y
Integrando em relação a y :
g(y) = y^2 + C

Passo 5

Agora substituímos g(y) de volta em F(x, y) :
F(x, y) = e^2 y x - sin(x y) + y^2 = C
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e^2 y x - sin(x y) + y^2 = C

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