Resolva as E. D. O.s de 1a. ordem abaixo e os P.V.I usando a técnica que for conveniente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem juntos! A equação que você passou é:
Vamos usar o conteúdo sobre equações diferenciais exatas para resolver essa equação. O que precisamos fazer é verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções
e
que multiplicam
e
respectivamente:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 4
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Subtraindo os termos iguais de ambos os lados:
Integrando em relação a
:
Passo 5
Agora substituímos
de volta em
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: