Encontre o intervalo de convergência, eteste a convergência nos extremos desse intervalo: S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{7}{(n+1)^{3} \cdot 2^{n}} \cdot(x+(-1))^{n}
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
Observação imediata (peguei do enunciado): \bigl(x+(-1)\bigr)=x-1. Portanto a série é uma série de potências centrada em 1 com termos do tipo \displaystyle a_n (x-1)^n, onde
a_n=\frac{7}{(n+1)^{3}\,2^{n}}.
O enunciado pede:
Encontrar o intervalo (mais precisamente o conjunto de x) onde a série converge (intervalo de convergência).
Testar a convergência nos extremos desse intervalo (ou seja, nos pontos que ficam exatamente à distância do raio em relação ao centro).
Passo 2
Determinar o raio de convergência R. Vou usar o critério da raiz (fácil e direto para esse tipo de coeficiente). Explico a fórmula e cada símbolo:
Para uma série de potências \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n, o raio de convergência R é dado por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui \sqrt[n]{|a_n|} significa a raiz n-ésima do valor absoluto do coeficiente a_n. Se o limite existir, podemos usar esse limite no lugar do \limsup.
No nosso caso a_n=\dfrac{7}{(n+1)^3 2^n}. Calculo \sqrt[n]{|a_n|}:
Isto é uma série tipo \sum 1/(n+1)^p com p=3. Conhecimento padrão (teste p-series): a série \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} converge se e só se p>1. Aqui p=3>1, portanto
\sum_{n=0}^\infty \frac{7}{(n+1)^3}
converge. Como a série de valores absolutos converge, a série original em x=-1 converge absolutamente (portanto converge). Convergência absoluta é ainda mais forte que convergência condicional.
Passo 5
Testar convergência no extremo x=3.
Substituo x=3: x-1=2. O termo geral fica
\frac{7}{(n+1)^3 2^n}\cdot 2^n=\frac{7}{(n+1)^3}.
Novamente aparece a série
\sum_{n=0}^\infty \frac{7}{(n+1)^3},
que, como já expliquei, converge pelo teste da p-série com p=3>1. Logo a série converge absolutamente em x=3.
Passo 6
Conclusão final (síntese do que já foi mostrado):
Raio de convergência R=2.
Intervalo central aberto de convergência: (-1,3).
Em x=-1 a série converge absolutamente.
Em x=3 a série converge absolutamente.
Portanto o intervalo de convergência incluindo os extremos é [-1,3].