Encontre o intervalo de convergência, eteste a convergência nos extremos desse intervalo:
S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{7}{(n+1)^{3} \cdot 2^{n}} \cdot(x+(-1))^{n}

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Série dada:
S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{7}{(n+1)^{3}\cdot 2^{n}}\cdot\bigl(x+(-1)\bigr)^{n}.
  • Observação imediata (peguei do enunciado): \bigl(x+(-1)\bigr)=x-1. Portanto a série é uma série de potências centrada em 1 com termos do tipo \displaystyle a_n (x-1)^n, onde
a_n=\frac{7}{(n+1)^{3}\,2^{n}}.
  • O enunciado pede:
    1. Encontrar o intervalo (mais precisamente o conjunto de x) onde a série converge (intervalo de convergência).
    2. Testar a convergência nos extremos desse intervalo (ou seja, nos pontos que ficam exatamente à distância do raio em relação ao centro).

Passo 2

Determinar o raio de convergência R. Vou usar o critério da raiz (fácil e direto para esse tipo de coeficiente). Explico a fórmula e cada símbolo:
  • Para uma série de potências \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n, o raio de convergência R é dado por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui \sqrt[n]{|a_n|} significa a raiz n-ésima do valor absoluto do coeficiente a_n. Se o limite existir, podemos usar esse limite no lugar do \limsup.
  • No nosso caso a_n=\dfrac{7}{(n+1)^3 2^n}. Calculo \sqrt[n]{|a_n|}:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{7}{(n+1)^3 2^n}} =\frac{7^{1/n}}{(n+1)^{3/n}\,2}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty. Usando fatos padrão:
  • \lim_{n\to\infty}7^{1/n}=1 porque qualquer constante positiva elevada a 1/n tende a 1.
  • \lim_{n\to\infty}(n+1)^{3/n}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{3\ln(n+1)}{n}}=e^{0}=1, porque \ln(n+1)/n\to0.
    Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{2}.
Assim \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{1}{2} e o raio é
R=\frac{1}{1/2}=2.

Passo 3

Determinar o intervalo (em termos de x). A série converge para todos os x tais que |x-1|<R. Com R=2 isso dá
|x-1|<2\quad\Longrightarrow\quad -1<x<3.
Então o intervalo aberto de convergência é (-1,3). Agora é preciso testar os extremos x=-1 e x=3.

Passo 4

Testar convergência no extremo x=-1.
  • Substituo x=-1 na série. Como peguei do enunciado:
x-1=(-1)-1=-2,
logo o termo geral vira
\frac{7}{(n+1)^3 2^n}\cdot(-2)^n=\frac{7(-1)^n}{(n+1)^3}\cdot\frac{2^n}{2^n}=\frac{7(-1)^n}{(n+1)^3}.
  • Para testar convergência absoluta, considero a série das magnitudes:
\sum_{n=0}^\infty \left|\frac{7(-1)^n}{(n+1)^3}\right|=\sum_{n=0}^\infty \frac{7}{(n+1)^3}.
Isto é uma série tipo \sum 1/(n+1)^p com p=3. Conhecimento padrão (teste p-series): a série \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} converge se e só se p>1. Aqui p=3>1, portanto
\sum_{n=0}^\infty \frac{7}{(n+1)^3}
converge. Como a série de valores absolutos converge, a série original em x=-1 converge absolutamente (portanto converge). Convergência absoluta é ainda mais forte que convergência condicional.

Passo 5

Testar convergência no extremo x=3.
  • Substituo x=3: x-1=2. O termo geral fica
\frac{7}{(n+1)^3 2^n}\cdot 2^n=\frac{7}{(n+1)^3}.
  • Novamente aparece a série
\sum_{n=0}^\infty \frac{7}{(n+1)^3},
que, como já expliquei, converge pelo teste da p-série com p=3>1. Logo a série converge absolutamente em x=3.

Passo 6

Conclusão final (síntese do que já foi mostrado):
  • Raio de convergência R=2.
  • Intervalo central aberto de convergência: (-1,3).
  • Em x=-1 a série converge absolutamente.
  • Em x=3 a série converge absolutamente.
    Portanto o intervalo de convergência incluindo os extremos é [-1,3].

Resposta

Intervalo de convergência: [-1,3].
Convergência em x=-1: converge absolutamente.
Convergência em x=3: converge absolutamente.

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