Encontre o intervalo de convergência, eteste a convergência nos extremos desse intervalo:
S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{(n+4)^{2} \cdot 3^{n}} \cdot(x+2)^{n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar o intervalo de convergência da série de potências
S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{(n+4)^{2}\cdot 3^{n}}\,(x+2)^{n},
e testar a convergência nos extremos desse intervalo. Informações dadas e pontos importantes:
  • A série é centrada em x=-2 (porque aparece (x+2)^n).
  • Os coeficientes da série (em relação a (x+2)^n) são
a_n=\frac{n}{(n+4)^2\cdot 3^{n}}.
  • Precisa-se: (i) raio/intervalo de convergência; (ii) verificar o que acontece em x tais que |x+2|=R (os extremos).

Passo 2

Vou achar o raio de convergência R usando o teste da raiz (fácil e direto para séries com fator 3^{-n}). Lembrete do teste da raiz para séries de potências: se a_n são os coeficientes, então
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Calculo |a_n|^{1/n}. Como a_n\ge0 já,
|a_n|^{1/n}=\left(\frac{n}{(n+4)^2\cdot 3^{n}}\right)^{1/n} =\frac{n^{1/n}}{(n+4)^{2/n}}\cdot\frac{1}{3}.
Agora avalio o limite quando n\to\infty. Detalhe útil: para qualquer n,
\ln\bigl(n^{1/n}\bigr)=\frac{\ln n}{n}\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,
portanto n^{1/n}\to 1. Similarmente,
\ln\bigl((n+4)^{2/n}\bigr)=\frac{2\ln(n+4)}{n}\to 0,
logo (n+4)^{2/n}\to 1. Portanto
\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=\frac{1}{3}.
Assim
R=\frac{1}{1/3}=3.

Passo 3

O raio R=3 significa que a série converge absolutamente para
|x+2|<3,
ou seja no intervalo aberto em x:
(-2-3,\,-2+3)=(-5,\,1).
Agora falta estudar o comportamento nos extremos x=-5 e x=1, onde |x+2|=3.

Passo 4

Testando o extremo x=1. Substituo x=1 em (x+2)^n: (1+2)^n=3^n. Os termos da série ficam
\frac{n}{(n+4)^2\cdot 3^{n}}\cdot 3^{n}=\frac{n}{(n+4)^2}.
Portanto a série em x=1 é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{(n+4)^2}.
Para decidir convergência comparo com a série harmônica \sum 1/n. Observe o comportamento assintótico:
\frac{n}{(n+4)^2}\sim\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}\quad\text{quando }n\to\infty.
Mais formalmente, faço a comparação limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{(n+4)^2}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+4)^2}=1.
Como \sum 1/n diverge, e o quociente limite é finito e não nulo, pela comparação limite a série \sum n/(n+4)^2 também diverge. Conclusão: em x=1 a série diverge.

Passo 5

Testando o extremo x=-5. Substituo x=-5: (x+2)^n=(-3)^n. Os termos ficam
\frac{n}{(n+4)^2\cdot 3^{n}}\cdot (-3)^n=\frac{n}{(n+4)^2}(-1)^n.
Assim a série em x=-5 é a série alternada
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{n}{(n+4)^2}.
Vou aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternada): se b_n\ge0, b_n\to 0 e b_n é eventualmente decrescente, então \sum(-1)^n b_n converge. Aqui b_n=\dfrac{n}{(n+4)^2}.
  • Primeiro, \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{(n+4)^2}=0 porque o denominador cresce como n^2 e o numerador como n.
  • Segundo, preciso ver que b_n é decrescente a partir de algum n. Considere a função contínua
f(x)=\frac{x}{(x+4)^2},\qquad x\ge 0.
Calculo a derivada:
f'(x)=\frac{(x+4)^2-2x(x+4)}{(x+4)^4}=\frac{4-x}{(x+4)^3}.
Logo f'(x)>0 para x<4, f'(4)=0, f'(x)<0 para x>4. Isso mostra que f cresce até x=4 e depois decresce para x>4. Assim a sequência b_n=f(n) é decrescente para n\ge 5. Então b_n é eventualmente decrescente e tende a zero, logo pelo teste de Leibniz a série alternada converge.
  • Verificação de convergência absoluta: a série dos valores absolutos é \sum n/(n+4)^2, que já vimos divergir. Portanto a convergência em x=-5 é condicional (não absoluta).

Passo 6

Resumo do que foi encontrado de forma direta e prática para a prova:
  • Raio R=3 e intervalo aberto de convergência (-5,1).
  • Em x=1: diverge (porque os termos são comparáveis a 1/n).
  • Em x=-5: converge condicionalmente (série alternada satisfaz o critério de Leibniz), mas não converge absolutamente.

Resposta

Intervalo de convergência: (-5,\,1)
Em x=-5: convergência condicional (série alternada convergente, não absolutamente)
Em x=1: diverge

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