Encontre o intervalo de convergência, eteste a convergência nos extremos desse intervalo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar o intervalo de convergência da série de potências
e testar a convergência nos extremos desse intervalo. Informações dadas e pontos importantes:
- A série é centrada em
(porque aparece ). - Os coeficientes da série (em relação a
) são
- Precisa-se: (i) raio/intervalo de convergência; (ii) verificar o que acontece em
tais que (os extremos).
Passo 2
Vou achar o raio de convergência
usando o teste da raiz (fácil e direto para séries com fator
). Lembrete do teste da raiz para séries de potências: se
são os coeficientes, então
Calculo
. Como
já,
Agora avalio o limite quando
. Detalhe útil: para qualquer
,
portanto
. Similarmente,
logo
. Portanto
Assim
Passo 3
O raio
significa que a série converge absolutamente para
ou seja no intervalo aberto em
:
Agora falta estudar o comportamento nos extremos
e
, onde
.
Passo 4
Testando o extremo
. Substituo
em
:
. Os termos da série ficam
Portanto a série em
é
Para decidir convergência comparo com a série harmônica
. Observe o comportamento assintótico:
Mais formalmente, faço a comparação limite:
Como
diverge, e o quociente limite é finito e não nulo, pela comparação limite a série
também diverge. Conclusão: em
a série diverge.
Passo 5
Testando o extremo
. Substituo
:
. Os termos ficam
Assim a série em
é a série alternada
Vou aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternada): se
,
e
é eventualmente decrescente, então
converge. Aqui
.
- Primeiro,
porque o denominador cresce como e o numerador como . - Segundo, preciso ver que
é decrescente a partir de algum . Considere a função contínua
Calculo a derivada:
Logo
para
,
,
para
. Isso mostra que
cresce até
e depois decresce para
. Assim a sequência
é decrescente para
. Então
é eventualmente decrescente e tende a zero, logo pelo teste de Leibniz a série alternada converge.
- Verificação de convergência absoluta: a série dos valores absolutos é
, que já vimos divergir. Portanto a convergência em é condicional (não absoluta).
Passo 6
Resumo do que foi encontrado de forma direta e prática para a prova:
- Raio
e intervalo aberto de convergência . - Em
: diverge (porque os termos são comparáveis a ). - Em
: converge condicionalmente (série alternada satisfaz o critério de Leibniz), mas não converge absolutamente.
Resposta
Intervalo de convergência:
Em : convergência condicional (série alternada convergente, não absolutamente)
Em : diverge
Em
Em