Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Para as séries convergentes encontre o valor da soma. Justifique suas respostas. ( 1,5 ponto)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede que analisemos a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{2n}},
identifiquemos se ela converge ou diverge e, se converge, encontremos sua soma. O conteúdo principal é séries geométricas e teste de convergência de séries.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral como uma potência para reconhecer a forma geométrica. Observamos que
\frac{(-1)^{n}}{3^{2n}} = \left(\frac{-1}{3^2}\right)^{n} = \left(\frac{-1}{9}\right)^{n}.
Portanto, trata-se de uma série geométrica com primeiro termo \displaystyle a_{1} = \frac{-1}{9}
e razão \displaystyle r = \frac{-1}{9}.

Passo 3

Uma série geométrica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{1}\,r^{\,n-1} converge se, e somente se, |r|<1. Aqui temos
|r| = \biggl|\frac{-1}{9}\biggr| = \frac{1}{9} < 1,
logo a série converge absolutamente.

Passo 4

Para séries geométricas iniciadas em n=1, a soma é dada por
S = \frac{a_{1}}{1 - r}.
Substituindo a_{1} = -\tfrac{1}{9} e r = -\tfrac{1}{9}, obtemos
S = \frac{-\tfrac{1}{9}}{1 - \bigl(-\tfrac{1}{9}\bigr)} = \frac{-\tfrac{1}{9}}{1 + \tfrac{1}{9}} = \frac{-\tfrac{1}{9}}{\tfrac{10}{9}} = -\frac{1}{10}.

Resposta

A série converge e sua soma é -\tfrac{1}{10}.

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