Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
(3)
sumk=0^infty (-1)^k+1k ! x^k

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
sumk=0^infty(-1)^k+1k!,x^k
O conteúdo necessário é o cálculo do raio de convergência usando o teste da razão de Cauchy–Hadamard para séries de potência.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Denotando ak = (-1)^k+1k!, temos de analisar
L = limktoinfty|ak+1,x^,k+1ak,x^k| =limktoinftyl|(-1)^k+2(k+1)!cdotk!(-1)^k+1r|;|x| =limktoinfty|x|k+1
Como limktoinfty|x|k+1=0 para todo xinR, o teste da razão dá L=0<1 sem restrição sobre x. Portanto o raio de convergência é infinito.

Passo 3

Com raio R=infty, a série converge para todo xinR. Não há pontos extremos a verificar além dos já incluídos.

Resposta

O intervalo de convergência é (-infty,infty).

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