Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
10)
sumk=1^infty (2 k+1)!2 k! x^2 k

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
sumk=1^infty(2k+1)!(2k)!,x^2k
O conteúdo que vamos usar envolve o teste da razão para séries de potência, cálculo do raio de convergência e análise nos extremos x=pm1.

Passo 2

Observamos que
(2k+1)!(2k)!=2k+1
Assim a série é
sumk=1^infty(2k+1),x^2k
Aplicando o teste da razão, consideramos
L =limktoinfty |(2(k+1)+1),x^2(k+1)(2k+1),x^2k| =limktoinfty2k+32k+1,|x|^2 =|x|^2
A série converge se L<1, isto é, se |x|^2<1, ou seja |x|<1.

Passo 3

Do teste da razão concluímos que o raio de convergência é R=1. Logo a convergência ocorre em
-1<x<1

Passo 4

Faltam os extremos:
Para x=1 a série vira
sumk=1^infty(2k+1),
cujos termos não tendem a zero, logo diverge.
Para x=-1 temos
sumk=1^infty(2k+1)(-1)^2k =sumk=1^infty(2k+1),
também divergente pelo mesmo motivo.

Resposta

O intervalo de convergência é (-1,1).

Exercícios relacionados