Utilize as ferramentas do Cálculo para esboçar os gráficos das seguintes funções:
g(x)=x-3 x^1 / 3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
g(x)=x-3,x^1/3
O conteúdo é estudo de função real usando domínio, interceptos, derivada para monotonia e derivada segunda para concavidade.

Passo 2

Domínio: como x^1/3 está definido para todo xinR, o domínio é R.
Intercepto em y (quando x=0):
g(0)=0-3cdot0^1/3=0
Interceptos em x (soluções de g(x)=0): seja xneq0, divide-se por x^1/3
x-3,x^1/3=0;Longrightarrow;x^2/3=3;Longrightarrow;x^2=27;Longrightarrow;x=pm3raiz3
Logo os zeros são x=-3raiz3,0,3raiz3

Passo 3

Derivada primeira:
g'(x)=1-3cdot13x^-2/3=1-x^-2/3
Pontos críticos: g'(x)=0 x^-2/3=1Rightarrow x=pm1. Em x=0 a derivada é indefinida.
Sinal de g'(x):
  • Para x<-1: x^-2/3<1 Rightarrow g'(x)>0 (crescente).
  • Para -1<x<0: x^-2/3>1 Rightarrow g'(x)<0 (decrescente).
  • Para 0<x<1: idem Rightarrow g'(x)<0 (decrescente).
  • Para x>1: x^-2/3<1 Rightarrow g'(x)>0 (crescente).
    Valores extremos:
g(-1)=-1-3(-1)^1/3=-1+3=2(máximo local), á
g(1)=1-3cdot1=-2(mínimo local) í

Passo 4

Derivada segunda:
g''(x)=ddxl(1-x^-2/3r) =23,x^-5/3
Concavidade:
  • Para x<0, x^-5/3<0 Rightarrow g''(x)<0 (côncavo para baixo).
  • Para x>0, x^-5/3>0 Rightarrow g''(x)>0 (côncavo para cima).
    Há ponto de inflexão em x=0, pois muda a concavidade.

Passo 5

Resumo dos pontos marcantes:
  • Zeros em l(-3raiz3,0r), (0,0), l(3raiz3,0r).
  • Máximo local em (-1,2).
  • Mínimo local em (1,-2).
  • Ponto de inflexão em (0,0).
  • Cresce em (- infty,-1) e (1,infty); decresce em (-1,0) e (0,1).
  • Côncavo para baixo em (- infty,0); côncavo para cima em (0,infty).

Resposta

O gráfico de g entra do canto inferior esquerdo, cresce concavo para baixo até o máximo em (-1,2), depois decresce ainda côncavo para baixo até cruzar o eixo em (0,0) (inflação de concavidade), segue decrescendo côncavo para cima até o mínimo em (1,-2) e então cresce côncavo para cima subindo indefinidamente.

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