Resolva os seguintes exercicios justificando sua respostas.
Determine o conjunto solucao (c.s.) das seguintes equacoes
|2 x-3| & =4 x-11 |x^2-3| & =2 x-4 |x-1| & =x^2+1 |x^3| & =x

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício com quatro equações envolvendo valor absoluto. O conteúdo que vamos usar aqui é valor absoluto e resolução de equações. Para resolver, vamos precisar lembrar que o valor absoluto de um número é sempre positivo ou zero, e que para resolver equações com valores absolutos, geralmente dividimos em casos: quando a expressão dentro do valor absoluto é positiva e quando é negativa.

Passo 2

Primeira Equação: |2x - 3| = 4x - 11
Primeiro, precisamos garantir que o lado direito da equação ( 4x - 11) seja não negativo, já que o valor absoluto sempre é positivo ou zero. Então:
4x - 11 >= 0 Rightarrow 4x >= 11 Rightarrow x >= 114
Agora, vamos considerar dois casos para o valor absoluto:
  1. Caso 1: 2x - 3 >= 0
    Isso significa 2x >= 3 Rightarrow x >= 32. Como 114 > 32, nossa condição principal já cobre esse caso. Então:
2x - 3 = 4x - 11
Resolvendo:
2x - 4x = -11 + 3
-2x = -8
x = 4
  1. Caso 2: 2x - 3 < 0
    Mas, vamos verificar rapidamente: x >= 114 e 2x - 3 < 0 significaria x < 32, o que é impossível aqui. Então, esse caso não tem solução.
Solução da Primeira Equação: x = 4

Passo 3

Segunda Equação: |x^2 - 3| = 2x - 4
Primeiro, o lado direito ( 2x - 4) deve ser não negativo:
2x - 4 >= 0 Rightarrow 2x >= 4 Rightarrow x >= 2
Agora, vamos dividir em dois casos:
  1. Caso 1: x^2 - 3 >= 0
    Isso significa x^2 >= 3 Rightarrow x <= -raiz3 ou x >= raiz3. Mas como x >= 2, consideramos apenas x >= raiz3.
    Então:
x^2 - 3 = 2x - 4
Rearranjando:
x^2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)^2 = 0
x = 1
Mas 1 < 2, não atende x >= 2. Então, sem solução nesse caso.
  1. Caso 2: x^2 - 3 < 0
    Isso significa -raiz3 < x < raiz3. Porém, lembrando que x >= 2, não há interseção. Portanto, sem solução.
Solução da Segunda Equação: Não há solução.

Passo 4

Terceira Equação: |x - 1| = x^2 + 1
Vamos analisar as possibilidades:
Sabemos que x^2 + 1 >= 1 sempre, e |x - 1| também é sempre não negativo. Vamos dividir em dois casos:
  1. Caso 1: x - 1 >= 0 Rightarrow x >= 1
    Então:
x - 1 = x^2 + 1
Rearranjando:
x^2 - x + 2 = 0
Calculando o discriminante:
D = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot 2 = 1 - 8 = -7
Como D < 0, não há raízes reais. Sem solução.
  1. Caso 2: x - 1 < 0 Rightarrow x < 1
    Então:
-(x - 1) = x^2 + 1
-x + 1 = x^2 + 1
x^2 + x = 0
x(x + 1) = 0
x = 0
ou
x = -1
Verificando se estão no domínio x < 1:
Ambos satisfazem.
Solução da Terceira Equação: x = -1 e x = 0

Passo 5

Quarta Equação: |x^3| = x
Sabemos que |x^3| = |x|^3. Vamos considerar dois casos:
  1. Caso 1: x >= 0
    Então |x^3| = x^3, e a equação fica:
x^3 = x
x^3 - x = 0
x(x^2 - 1) = 0
x = 0
ou
x^2 = 1 Rightarrow x = 1
  1. Caso 2: x < 0
    Então |x^3| = -x^3, e a equação fica:
-x^3 = x
-x^3 - x = 0
x^3 + x = 0
x(x^2 + 1) = 0
x = 0
ou
x^2 + 1 = 0
A segunda parte não tem solução real. Então, apenas x = 0.
Solução da Quarta Equação: x = -1, 0, 1

Resposta

O conjunto solução (c.s.) das equações é:
&1 x = 4 &2 Não há solução &3 x = -1 e x = 0 &4 x = -1, 0, 1 ãáçã

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