Utilize as ferramentas do Cálculo para esboçar os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo é “estudo de curvas” usando domínio, interceptos, simetria, derivada primeira (monotonia e extremos), derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão) e comportamento assintótico.
Passo 2
Domínio: toda reta, pois é um polinômio.
Interceptos:
Interceptos:
logo corta o eixo
em
.
Simetria: como , a curva é par (simétrica em relação ao eixo
).
Simetria: como
Passo 3
Derivada primeira:
Zeramos
:
Sinal de
: como
sempre, o sinal de
é o de
.
Para ,
; entre
e
,
; para
,
.
Isto mostra que
– em há mudança de decrescente para crescente
mínimo local em
.
– em não há troca de sinal de
pontos de inflexão estacionários (saddle points), pois a função passa “achatada” por esses zeros.
Para
Isto mostra que
– em
– em
Passo 4
Derivada segunda:
Zeramos
:
Testando sinais, conclui-se:
– :
,
concavidade para cima.
– :
,
concavidade para baixo.
– :
,
concavidade para cima.
Logo há pontos de inflexão em e também mudança de concavidade em
.
–
–
–
Logo há pontos de inflexão em
Passo 5
Comportamento em infinito:
pois o termo dominante é
.
Juntando tudo:
- A curva é par e cresce para
em ambas as extremidades. - Tem mínimo local em
. - Apresenta inflexões em
e “achatamentos” (saddle) em , onde cruza o eixo . - Concava para cima em
e ; concava para baixo em .
Assim o esboço é uma curva em “W” suave, simétrica, com vale único em
, achatamentos em
e subidas para
.
Resposta
O gráfico de
é par, tem mínimo local em
, zeros simples em
que são pontos de inflexão estacionários, pontos de inflexão em
, concavidade alternando conforme descrito e tende a
nas duas pontas.