Utilize as ferramentas do Cálculo para esboçar os gráficos das seguintes funções:
f(x)=(x^2-1)^3

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x) = l(x^2-1r)^3
O conteúdo é “estudo de curvas” usando domínio, interceptos, simetria, derivada primeira (monotonia e extremos), derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão) e comportamento assintótico.

Passo 2

Domínio: toda reta, pois é um polinômio.
Interceptos:
f(x)=0iff (x^2-1)^3=0iff x=pm1
f(0)=(-1)^3=-1,
logo corta o eixo y em (0,-1).
Simetria: como f(-x)=((-x)^2-1)^3=(x^2-1)^3=f(x), a curva é par (simétrica em relação ao eixo y).

Passo 3

Derivada primeira:
f'(x)=3l(x^2-1r)^2cdot2x=6xl(x^2-1r)^2
Zeramos f':
6x(x^2-1)^2=0implies x=0,;pm1
Sinal de f'(x): como (x^2-1)^2>=0 sempre, o sinal de f' é o de x.
Para x<0, f'<0; entre 0 e 1, f'>0; para x>1, f'>0.
Isto mostra que
– em x=0 há mudança de decrescente para crescente Rightarrow mínimo local em (0,-1).
– em x=pm1 não há troca de sinal de f' Rightarrow pontos de inflexão estacionários (saddle points), pois a função passa “achatada” por esses zeros.

Passo 4

Derivada segunda:
f''(x)=ddxl[6x(x^2-1)^2r] =6,(x^2-1)^2+6xcdot2(x^2-1)cdot2x =6(x^2-1)l[(x^2-1)+4x^2r] =6(x^2-1)(5x^2-1)
Zeramos f'':
x^2-1=0implies x=pm1, 5x^2-1=0implies x=pm1raiz5
Testando sinais, conclui-se:
|x|<1/raiz5: x^2-1<0, 5x^2-1<0 Rightarrow f''>0 Rightarrow concavidade para cima.
1/raiz5<|x|<1: x^2-1<0, 5x^2-1>0 Rightarrow f''<0 Rightarrow concavidade para baixo.
|x|>1: x^2-1>0, 5x^2-1>0 Rightarrow f''>0 Rightarrow concavidade para cima.
Logo há pontos de inflexão em x=pm1/raiz5 e também mudança de concavidade em x=pm1.

Passo 5

Comportamento em infinito:
limxtopminftyf(x)=(+infty)^3=+infty,
pois o termo dominante é x^6.
Juntando tudo:
  • A curva é par e cresce para +infty em ambas as extremidades.
  • Tem mínimo local em (0,-1).
  • Apresenta inflexões em x=pm1raiz5 e “achatamentos” (saddle) em x=pm1, onde cruza o eixo x.
  • Concava para cima em |x|<1/raiz5 e |x|>1; concava para baixo em 1/raiz5<|x|<1.
Assim o esboço é uma curva em “W” suave, simétrica, com vale único em x=0, achatamentos em pm1 e subidas para +infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=(x^2-1)^3 é par, tem mínimo local em (0,-1), zeros simples em (pm1,0) que são pontos de inflexão estacionários, pontos de inflexão em x=pm1/raiz5, concavidade alternando conforme descrito e tende a +infty nas duas pontas.

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