Faca o esboco do grafico das seguintes funcoes, caso existam encontre as assintotas
(b) f(x)=x^2+|2 x+1|,
f(x)=2 x+6x-3

Passo 1

O enunciado pede o esboço dos gráficos de
f(x)=x^2 + |2x+1|
e
g(x)=2x+6,x-3,
além de encontrar, quando existirem, as assíntotas. Vamos usar definição de valor absoluto para obter uma forma por partes em f e divisão polinomial para g.

Passo 2

Para f(x)=x^2+|2x+1| escrevemos
1. se 2x+1>=0 (isto é, x>=-1/2), então
|2x+1|=2x+1
e
f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2
2. se 2x+1<0 (isto é, x<-1/2), então
|2x+1|=-(2x+1)
e
f(x)=x^2-2x-1 = (x-1)^2-2

Passo 3

Analisando cada ramo de f:
– Para x>=-1/2, f(x)=(x+1)^2 é uma parábola com vértice em (-1,0), mas só vale a partir de x=-1/2. Em x=-1/2 temos
f(-tfrac12) = l(-tfrac12+1r)^2 = tfrac14
– Para x<-1/2, f(x)=(x-1)^2-2 é outra parábola com vértice em (1,-2), mas só considerada à esquerda de -1/2. Em x=-1/2 esse ramo vale
f(-tfrac12) = l(-tfrac12-1r)^2-2 = tfrac94-2 = tfrac14,
garantindo encaixe sem salto. Não há assíntotas para f por ser combinação de polinômios.

Passo 4

Esboço de f: duas parábolas que se encontram em l(-tfrac12,tfrac14r), uma definindo f(x)=(x-1)^2-2 para x<-1/2 (abertura para cima) e a outra f(x)=(x+1)^2 para x>=-1/2.

Passo 5

Agora g(x)=2x+6x-3. Fazemos divisão de polinômios:
2x+6x-3=2+12,x-3,
Desse modo aparece
– assíntota vertical em x=3, pois o denominador zera ali;
– assíntota horizontal em y=2, pois tfrac12x-3to0 quando |x|toinfty.

Passo 6

Esboço de g: hiperbola deslocada para a direita em 3 e para cima em 2, com ramo que vai a +infty quando xto3^+ e a -infty quando xto3^-, aproximando-se de y=2 nos extremos.

Resposta

Para
f(x)=x^2+|2x+1|
não há assíntotas; o gráfico é formado por
f(x)= (x-1)^2-2, & x<-tfrac12, (x+1)^2, & x>=-tfrac12,
com ponto de quebra em l(-tfrac12,tfrac14r).
Para
g(x)=2x+6x-3
há assíntota vertical x=3 e assíntota horizontal y=2.

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