Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
(14) sumk=1^infty k3^k(x-pi)^k

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
sumk=1^infty k3^k(x-pi)^k
Para isso, vamos usar o teste da razão, que nos dá primeiro o raio de convergência e depois testamos o comportamento nos extremos.

Passo 2

Definindo o termo geral
ak=k3^k(x-pi)^k,
o teste da razão exige o cálculo do limite
L ;=;limktoinfty|ak+1ak|
Vamos calcular esse quociente.

Passo 3

Calculando o quociente:
ak+1ak =k+13^k+1(x-pi)^,k+1k3^k(x-pi)^,k =k+1k,13,(x-pi)
Tomando módulo e limite,
L =limktoinfty|k+1k,x-pi3| =|x-pi|3
O teste da razão afirma que a série converge se L<1, ou seja
|x-pi|<3

Passo 4

Isso dá o raio de convergência R=3 e o intervalo aberto pi-3<x<pi+3. Resta verificar os extremos:
Para x=pi+3 o termo geral vale
k3^k(3)^k=k,
cujo limite não é zero, logo a série diverge.
Para x=pi-3 o termo geral vale
k3^k(-3)^k=k(-1)^k,
cujo termo geral também não tende a zero, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (pi-3,pi+3).

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