Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
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Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
Para isso, vamos usar o teste da razão, que nos dá primeiro o raio de convergência e depois testamos o comportamento nos extremos.
Passo 2
Definindo o termo geral
o teste da razão exige o cálculo do limite
O teste da razão afirma que a série converge se L<1, ou seja
|x-pi|<3
Passo 4
Isso dá o raio de convergência R=3 e o intervalo aberto pi-3<x<pi+3. Resta verificar os extremos:
Para x=pi+3 o termo geral vale k3^k(3)^k=k,
cujo limite não é zero, logo a série diverge.
Para x=pi-3 o termo geral vale k3^k(-3)^k=k(-1)^k,
cujo termo geral também não tende a zero, logo diverge.