Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
86) sumk=1^infty (-1)^k+1 2^kk^3 3^k+2

Passo 1

O enunciado pede para a série
sumk=1^infty (-1)^k+12^kk^3,3^k+2
verificar (a) convergência absoluta e (b) convergência condicional. Vamos usar o teste da razão para a série de valores absolutos e concluir sobre a série original.

Passo 2

Consideramos a série de valores absolutos
sumk=1^infty |(-1)^k+12^kk^3,3^k+2| = sumk=1^infty 2^kk^3,3^k+2
Aplicando o teste da razão ao termo bk = 2^kk^3,3^k+2, temos
L = limktoinfty bk+1bk = limktoinfty 2^k+1/l((k+1)^3,3^k+3r)2^k/l(k^3,3^k+2r) = limktoinfty 23l(kk+1r)^3 = 23
Como L=tfrac23<1, a série de valores absolutos converge.

Passo 3

A convergência da série de valores absolutos implica que a série original converge absolutamente. Convergência absoluta já garante convergência, não havendo, portanto, convergência condicional isolada.

Resposta

(a) Converge absolutamente.
(b) Não converge condicionalmente (pois converge absolutamente).

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