Nos exercícios abaixo, encontre os valores de x>0 para os quais a série converge:
(4) 1+x^22+x^43+ldots=sumk=0^infty x^2 kk+1

Passo 1

O enunciado pede os valores de x>0 tais que a série
sumk=0^infty x^2kk+1
converge. É uma série de potências em x^2. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e, em seguida, verificar o comportamento no ponto crítico.

Passo 2

Seja
ak = x^2kk+1
Aplicando o teste da razão, consideramos
L = limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty |x^2(k+1)/(k+2)x^2k/(k+1)| = limktoinfty x^2 ,k+1k+2 = x^2
O teste da razão diz que a série converge se L<1, ou seja, se
x^2 < 1 Long<=ftrightarrow |x|<1

Passo 3

Como estamos considerando x>0, a condição |x|<1 fica 0 < x < 1. Faltou ainda analisar x=1: nesse caso a série torna-se
sumk=0^infty 1k+1,
que é a série harmônica e diverge. Portanto para x>=1 não há convergência.

Resposta

A série converge para
0 < x < 1

Exercícios relacionados