Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
(19) sumk=1^infty 1k+2 x^2 k+1

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumk=1^infty1k+2,x^2k+1
O conteúdo usado será o Teste da Razão (ou d’Alembert) para séries de potências, e depois a verificação nos extremos x=pm1.

Passo 2

Aplicando o Teste da Razão, definimos
ak = 1k+2,x^2k+1
Calculamos
limktoinftyl|ak+1akr| =limktoinftytfrac1k+3,|x|^2(k+1)+1tfrac1k+2,|x|^2k+1 =limktoinftyk+2k+3,|x|^2 =|x|^2
Pelo Teste da Razão, a série converge se |x|^2<1, isto é, |x|<1, e diverge se |x|>1.

Passo 3

Verificamos os extremos:
1. Para x=1 a série vira
sumk=1^infty1k+2,
que é divergente (comparação com a série harmônica).
2. Para x=-1 temos
sumk=1^infty1k+2(-1)^2k+1 =-sumk=1^infty1k+2,
também divergente (soma de termos de sinal constante).

Resposta

O intervalo de convergência é (-1,1).

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