Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
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Passo 1
O enunciado nos dá a série de potência . O conteúdo aqui é determinação do raio de convergência de uma série de potência e análise nos pontos extremos usando teste da raiz e testes de convergência (alternante e -série).
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz. Observe que
Pelo teste da raiz, a série converge se |2x+5|<1.
Passo 3
A condição |2x+5|<1 é equivalente a
l|x+tfrac52r|<tfrac12,
isto é,
-3<x< -2
Passo 4
No ponto x=-3 temos 2x+5=-1 e a série torna-se
sumk=0^infty(-1)^kraiz2k+8
Como os termos tfrac1raiz2k+8 são decrescentes e tendem a zero, o teste de Leibniz garante convergência condicional.
Passo 5
No ponto x=-2 temos 2x+5=1 e a série vira
sumk=0^infty1raiz2k+8
Como tfrac1raiz2k+8sim k^-tfrac12 e a p-série com p=tfrac12 diverge, concluímos que a série diverge em x=-2.