Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
29) sumk=0^infty (2 x+5)^kraiz2 k+8

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência sumk=0^infty (2x+5)^kraiz2k+8. O conteúdo aqui é determinação do raio de convergência de uma série de potência e análise nos pontos extremos usando teste da raiz e testes de convergência (alternante e p-série).

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz. Observe que
limktoinftyraiz[k]|(2x+5)^kraiz2k+8| =limktoinfty|2x+5|,(2k+8)^-tfrac12k =|2x+5|
Pelo teste da raiz, a série converge se |2x+5|<1.

Passo 3

A condição |2x+5|<1 é equivalente a
l|x+tfrac52r|<tfrac12,
isto é,
-3<x< -2

Passo 4

No ponto x=-3 temos 2x+5=-1 e a série torna-se
sumk=0^infty(-1)^kraiz2k+8
Como os termos tfrac1raiz2k+8 são decrescentes e tendem a zero, o teste de Leibniz garante convergência condicional.

Passo 5

No ponto x=-2 temos 2x+5=1 e a série vira
sumk=0^infty1raiz2k+8
Como tfrac1raiz2k+8sim k^-tfrac12 e a p-série com p=tfrac12 diverge, concluímos que a série diverge em x=-2.

Resposta

A série converge para
xin[-3,,-2)

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