Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
(16) sumk=1^infty 3^kk^2(2 x-1)^k

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
sumk=1^infty3^kk^2,(2x-1)^k
O conteúdo é séries de potência e vamos usar o teste da raiz para obter o raio de convergência.

Passo 2

Para simplificar, defina
t = 2x - 1,
de modo que a série fica
sumk=1^inftyak,t^k com ak=3^kk^2

Passo 3

Aplique o teste da raiz: calcule
L ;=;limsupktoinftyl|ak,t^kr|^1/k =limsupktoinfty3k^2/k;l|tr| =3,|t|
A série converge se L<1, isto é,
3,|t|<1 Longrightarrow |t|<13

Passo 4

Volte à variável x:
|2x-1|<13 Long<=ftrightarrow -tfrac13<2x-1<tfrac13 Long<=ftrightarrow tfrac13<x<tfrac23

Passo 5

Agora teste os extremos:
x = 13!: então t = -13 e a série vira
sumk=1^infty 3^kk^2 l(-13r)^k = sumk=1^infty (-1)^kk^2,
que converge absolutamente (é p-série com p=2>1).
x = 23!: então t = +13 e a série fica
sumk=1^infty 3^kk^2 l(13r)^k = sumk=1^infty 1k^2,
que também converge (novamente p-série com p=2).

Resposta

O intervalo de convergência é
boxedl[,tfrac13,,,tfrac23r]

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